13.2 Гидромеханическое подобие

Найдём условия подобия двух потоков несжимаемой жидкости, которые описываются уравнением движения Навье-Стокса. Рассмотрим только уравнение движения для проекции скорости на ось Х:

(13.1)

Аналогично запишем для второй подобной системы (13.2) (всё с двумя штрихами). Вводим постоянные подобия (константы):

; ; ; ;

; ; .

Выражаем уравнение движения Навье-Стокса для второй подобной системы через первую с учётом постоянных подобия

(13.3)

.

Из (13.3) выделим пять комплексов подобия:

(I) (II) (III) (IV) (V)

.

Для получения числа подобия разделим второй комплекс на первый: .

Комплексы, составлены из констант подобия, когда справа или слева стоит 1, получили название индикатора подобия, заменяя в индикаторе подобия безразмерные константы подобия , , на размерные величины , , , получаем число подобия гомохронности или Струхаля: , (13.4)

где Но выражает меру переносного или конвективного ускорения к ускорению в данной точке.

Разделив II на III получаем число подобия Фруда:

, (13.5)

где Fr характеризует отношение инерционной силы в потоке к силе тяжести.

Разделив IV на II, мы получаем число подобия Эйлера:

, (13.6)

где Eu отношение перепада давления в потоке жидкости к динамическому давлению потока.

Разделив II на V, получаем основное число гидромеханического подобия Рейнольдса Re:

, (13.7)

где Re характеризует режим движения потока, и представляет собой меру отношения сил инерции к силам вязкости.

Архимед, Галилей и Грасгоф являются производными числами подобия.

13.3 Тепловое подобие

Тепловое подобие – это подобие температурных полей и тепловых потоков. Рассмотрим две подобные системы (', "). Запишем уравнение энергии для одномерной задачи (температура меняется вдоль координаты Х), и уравнение теплообмена:

,

,

,

.

Введём постоянные подобия (константы).

Константы подобия коэффициентов температуропроводности:

; ; ; ; ; .

Заменяя переменные второй системы через переменные первой, мы получаем дифференциальное уравнение энергии и теплообмена для второй системы, записанное через переменные первой:

.

Уравнение теплообмена:

.

Выделим пять констант подобия:

(I) (II) (III) (IV) (V)

,

Разделим: .

Подставляя вместо постоянных подобия их размерные величины и произведя разделение переменных, мы получаем числа теплового подобия

Т.е. получили число подобия Фурье . (13.8)

Это безразмерное время, которое характеризует временное развитие процесса теплопроводности (относительная форма текущего времени).

– Число подобие Пекле , (13.9)

Pe выражает соотношение между переносом теплоты за счёт конвекции и за счёт молекулярной теплопроводности.

Разделив Pe/Re получаем число Прандтля Pr:

, (13.10)

Pr характеризует физические свойства среды, он табулирован в зависимости от температуры.

Разделим – получим основное число теплового подобия числа Нуссельта Nu (безразмерный коэффициент теплоотдачи):

, (13.11)

Nu характеризует интенсивность теплообмена на границе раздела тепловых сред и связывает интенсивность теплоотдачи , и температурное поле  в пограничном слое потока.

(13.8 – 13.11) – основные числа числового подобия.

Дадим вспомогательные числа гидродинамического и теплового подобия.

Комбинируя Re и Fr можно получить число подобия Галилея:

. (13.12)

Комбинируя Ga с параметрическим числом, характеризующим неоднородное поле плотностей , получим число подобия Архимеда:

. (13.13)

Комбинируя Nu и Pe, получаем число подобия Стантона

. (13.14)

St есть отношение конвективного теплового потока к тому тепловому потоку, который может быть перенесён потоком жидкости.

При свободной конвекции вызывается неоднородностью поля температур, т.к. плотность газа зависит от температур. Поэтому в числе подобия Ar заменяется на , где  – температурный коэффициент объёмного расширения. В результате из Ar получаем число Грасгофа Gr: , (13.15)

Gr характеризует подъёмную силу, возникающую в жидкости вследствие разности плотностей (учёт свободной конвекции).

Число подобия Маха – отношение скорости потока к местной скорости звука. , (13.16)

где – для идеального газа,

– для реального газа.

М характеризует сжимаемость жидкости, если , то жидкость (газ) считаем несжимаемой;

St пользуется при рассмотрении развитого турбулентного течения;

Pr характеризует подобие полей скоростей и температуры в движущейся среде.

Число подобия Релея: . (13.17)

Ra представляет собой критерий тепловой неустойчивости или нестабильности при свободной конвекции.

Число гомохромности или Струхаля: .

При изучении процессов гидродинамики и теплообмена могут встретиться следующие числа подобия.

Число подобие Кирпичёва: .

(мера отношения потока тепла подводимой к поверхности тела, к потоку отводится с поверхности внутрь тела за счёт теплопроводности).

Число подобия Кондратьева: .

(характеризует отставание изменения температуры какой-либо точки тела от изменения температуры окружающей среды, m – темп охлаждения).

Число подобия Вебера: .

(критерий поверхности натяжения).

We характеризует процесс дробления вязких жидкостей при распыле их воздухом или паром в горелочных устройствах. (отношение сил поверхностного натяжения к силам тяжести).

где  – коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;

_к – плотность капли, кг/м³;

 – плотность воздуха или пара, кг/м³;

– размер капли (d), м.

Число подобия Лященко: .

(характеризует гидродинамическую обстановку в слое зернистого материала (кипящего слоя) при течении жидкости или газа сквозь слой твёрдого зернистого материала).

Число подобия Стокса:

характеризует процесс обтекания тел запылённым потоком газа. Является мерой отношения сил инерции и сил вязкости на движущуюся в потоке частицу. Всего обобщенных переменных в теории переноса порядка 140.

Переходя от размерных физических величин или первичным к безразмерным комплексам или критериям, исходя из второй теоремы подобия, можно записать критериальные зависимости следующего вида: