8. Базис линейного векторного пространства, переход от одного базиса к другому

 Базис - любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства .

Обозначение:

Для каждого вектора существуют числа такие что

Числа называются координатами вектора в базисе ( ) (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись:

Справедливы формулы:

Матрица системы векторов

     Для векторов ..., в базисе ( ) - матрица

m векторов пространства линейно независимы тогда и только тогда, когда rang A = m.

Матрица S перехода от базиса к базису - матрица системы векторов в базисе .

Если , то:

или кратко:

     Если то т. е. - матрица перехода от базиса к базису .

Преобразование координат вектора

Если то В развернутой записи:

Очевидно, что

9. Линейные операторы, матрица линейного оператора

Пусть рассматриваются два линейных пространства различной размерности К^м и К^п. Если существует правило или закон, согласно которому каждому вектору пространства К^м ставится в соответствие некоторый вектор пространства К^п, то говорят, что определен оператор перехода от одного пространства к другому.

Вектор y , соответствующий вектору x при отображении линейного оператора, называется образом вектора x и обозначается символом

А(x) , т.е. y = А(x) . При этом x называется прообразом вектора y .

Оператор А является линейным, если он удовлетворяет условиям:

1. А(x+y)=A(x)+A(y)

2. A(kx)=kA(x).

Каждый лин.оператор определяется матрицей перехода; каждой матрице соответствует лин. оператор в n-мерном пространстве.

Один и тот же оператор имеет различные матрицы в различных базисах.

Матрицей линейного оператора А : X_n → Y_m в базисах e₁, e₂, … , e_n и f₁, f₂, … , f_m называется матрица размера m × n , у которой:

1) столбцы определяются как координатные столбцы образов базисных векторов пространства X_n :

Аe₁,А e₂, … , Аe_n в базисе пространства Y_m ;

2) строки определяются как коэффициенты в выражении координат образа произвольного вектора через координаты самого этого вектора.

Матрицы мы будем обозначать теми же буквами, что и операторы (только без крышки):

A = (aik) =	a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn

Замечания.

1. Пользуясь определением, можно строить матрицу оператора любым из двух способом (по строкам или по столбцам).

2. Количество столбцов матрицы линейного оператора

: X_n → Y_m равно размерности исходного пространства X_n , а количество строк — размерности пространства Y_m .

3. Как в случае векторов мы можем, фиксировав базис, вместо абстрактного линейного пространства, оперировать с координатным пространством (т.е. с наборами чисел), так и в случае линейных (и только линейных!) операторов мы можем оперировать с их матрицами (т.е. с таблицами чисел).

4. Если оператор отображает пространство X_n в X_n , то оба базиса совпадают и матрица оператора (квадратная) определяется заданием одного базиса.

Действия с операторами и их матрицами

Сложение операторов

Пусть X_n и Y_m — линейные пространства, А: X_n → Y_m и В: X_n → Y_m — операторы (не обязательно линейные) с общей областью определения D .

Матрицы А и А* линейного оператора в базисах (е₁, е₂,…,е_п) и (е*₁,е*2,…е*_п) связаны соотношением: А*=С^-АС,

где С – матрица перехода от старого базиса новому.

Нулевым О(x) или тождественным Е(x) называются операоры, действующие по правилу: О(x)=0, Е(x)=x.

Суммой операторов

А: D М X_n → Y_m и В: D М X_n → Y_m называется оператор С: D М X_n → Y_m , обозначаемый С= А(x)+В(x)

И такой, что "x О D  

С(x) = А(x) + В(x) .

Сумма линейных операторов есть линейный оператор.

При сложении операторов их матрицы в фиксированных базисах складываются.

Умножение оператора на число

Пусть X_n и Y_m — линейные пространства,

А: D М X_n → Y_m — оператор (не обязательно линейный). Произведением оператора А:D М X_n → Y_m и числа α называется оператор С:D М X_n → Y_m , обозначаемый С= αА и такой, что "x О D С(x) = αА(x) .

Произведение линейного оператора и числа есть линейный оператор.

При умножении оператора на число его матрица в фиксированных базисах умножается на это число.

Композиция (произведение) операторов

Пусть X_n , Y_m и Z_l – линейные пространства, А: X_n → Y_m и В: Y_m → Z_l — операторы (не обязательно линейные).

Композицией операторов А: X_n → Y_m и В: Y_m → Z_l называется оператор С: X_n → Z_l такой, что "x О X_n   С(x) = В(А(x) (рис. 1).

Композиция С операторов А и В обозначается С= В*А.

Композиция линейных операторов есть линейный оператор.

Матрица композиции линейных операторов в фиксированных базисах равна произведению матриц этих операторов в тех же базисах.