- •Матрицы: определение и свойства.
- •Определители: свойства, определители 1го и 2го порядков
- •Вычисление определителей высших порядков
- •5. Метод приведения к треугольному виду.
- •6. Формула для ведущих элементов.
- •Системы линейных уравнений, методы их решения (Крамера, Гаусса, матричный)
- •Векторы, действия с векторами, скалярное произведение векторов, лз и лнз векторы
- •Векторное и смешанное произведения векторов
- •Линейное векторное пространство: определение, свойства.
- •Базис линейного векторного пространства, переход от одного базиса к другому
- •Линейные операторы, матрица линейного оператора
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Квадратичные формы: определения, свойства, теоремы.
- •Прямая на плоскости, способы задания
- •1.Двумя точками (а и в).
- •2. Двумя плоскостями (a; b).
- •3. Двумя проекциями.
- •2. Для построения фронтального следа n прямой нужно из точки пересечения горизонтальной проекции её с осью 0x восстановить перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.
- •13. Расположение прямой на плоскости
- •14. Кривые второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •15. Способы задания и расположение плоскости в пространстве
- •16. Способы задания прямой в пространстве Векторно-параметрическое уравнение прямой
- •17. Основные задачи в пространстве: углы, условие параллельности и перпендикулярности
- •18. Основные задачи в пространстве: расстояния, взаимное расположение двух прямых
- •19. Поверхности второго порядка
- •20. Задачи линейного программирования, экономическая модель
- •Экономическая модель задачи
- •21. Основы мат. Моделирования, мат. Модель задачи линейного программирования
- •Пример составления математической модели
- •22. Задача оптимального распределения ресурсов
- •Конкретная ситуация парис (Планирование и Анализ Рационального Использования Средств)
- •Построение математической модели
- •Общий вид задачи оптимального распределения ресурсов
- •Варианты задачи оптимального распределения ресурсов
- •Верхняя и нижняя граница плана
- •Комплектность выпуска
- •Изменение ресурсной обеспеченности
- •Динамическое планирование
- •23. Общая задача линейного программирования
- •Область допустимых планов. Оптимальный план и оптимум
- •Область допустимых планов
- •Оптимальный план и оптимум
- •Условия разрешимости задачи и единственности решения.
- •Построение области допустимых планов
- •Построение градиента и определение оптимального плана
- •24. Основные теоремы линейного программирования.
- •25. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •26. Симплекс-метод
- •27. Прямая и двойственная задача линейного программирования. Геометрическая интерпретация двойственной задачи
- •28. Транспортная задача Общий вид транспортной задачи
- •Пример транспортной задачи
- •29. Нелинейное программирование
Построение градиента и определение оптимального плана
Обратимся к целевой функции. Ее градиент есть вектор (32; 27). Для решения задачи следует изобразить этот вектор в виде стрелки с началом в точке (0; 0) и концом в точке (32; 27).
Такая стрелка является короткой и поэтому плохо различимой на чертеже. Однако длина этой стрелки не играет никакой роли при решении задачи. Важно лишь ее направление. Если обе координаты точки (32; 27) умножить или разделить на одно и то же положительное число, то изменится лишь длина стрелки, но не ее направление. Поэтому на результате решения задачи это не скажется.
Удлиним стрелку до границы нашего рисунка (Error: Reference source not found).
Все линии уровня целевой функции параллельны друг другу и перпендикулярны градиенту. На Error: Reference source not foundпунктиром изображены линии, соответствующие различным значениям целевой функции, начиная от 10000 и с шагом 16000. Разумеется, такие линии могут быть построены для любых значений целевой функции, они параллельны и все вместе покрывают координатную плоскость.
Градиент показывает направление роста целевой функции. Мы решаем задачу на максимум. Чем больше значение целевой функции, тем лучше. Однако при слишком больших значениях пунктирная линия уровня окажется за пределами области допустимых планов.
Рис. Сложение матриц..5. Построение оптимального плана
В своем крайнем положении линия уровня проходит через точку L. Таким образом, точка L является оптимальным планом задачи. Это единственная точка, принадлежащая одновременно области допустимых планов и линии уровня в ее крайнем положении. Следовательно, наша задача обладает единственным оптимальным планом.
Найдем координаты оптимального плана. Приближенно их можно определить по чертежу. Для точного расчета необходимо решить соответствующую систему уравнений. Точка L лежит на границе первого и четвертого ограничений. Составляем систему уравнений:
Решив эту систему, получаем компоненты оптимального плана: x1 = 1250 и x2 = 667. Таким образом, оптимальный план X*max равен:
.
Он предписывает выпустить 1250 кг Печенья и 667 (точнее, 666,667) кг Бисквитов.
Для определения оптимума следует подставить компоненты оптимального плана в целевую функцию задачи. Оптимум Z*max определяется равенством:
.
Таким образом, реализация выпущенной продукции даст выручку в размере 58000 руб. Задача решена. Теперь следует обратиться к экономическому содержанию задачи и проанализировать полученный результат.
Рассмотрим, для полноты картины, задачу, когда при той же системе ограничений и той же целевой функции требуется найти не максимальное, а минимальное ее значение. В этой ситуации все рассуждения, связанные с построением области допустимых планов и градиента полностью сохраняются. Однако для нахождения оптимального плана следует теперь смещать линию уровня до крайнего положения в направлении, противоположном градиенту. Оптимальным планам для задачи на минимум окажется точка О - начало координат. Оптимум будет равен 0.