16. Способы задания прямой в пространстве Векторно-параметрическое уравнение прямой
где
-
фиксированная точка, лежащая на прямой;
-
направляющий вектор.
В координатах (параметрические уравнения):
Канонические уравнения прямой
Уравнения прямой по двум точкам
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
при условии, что не имеют места равенства
Направляющий вектор такой прямой
где
17. Основные задачи в пространстве: углы, условие параллельности и перпендикулярности
Условия параллельности двух прямых:
а) Если прямые заданы уравнениями xCOSa+ySINa–P=0 с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k1 = k2.
б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.
=
Условия перпендикулярности двух прямых:
а) В случае, когда прямые заданы уравнениями xCOSa+ySINa–P=0 с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.
=
–
Это условие может быть записано также в виде
k1k2 = -1.
б) Если уравнения прямых заданы в общем виде A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0, то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства
A1A2 + B1B2 = 0. A1A2 + B1B2 = 0.
18. Основные задачи в пространстве: расстояния, взаимное расположение двух прямых
Взаимное расположение двух прямых
Если
прямые заданы уравнениями
и
то
они:
1)
параллельны (но не совпадают)
2)
совпадают
3)
пересекаются
4)
скрещиваются
Если
то
случаи 1 - 4 имеют место, когда (
- знак отрицания условия):
1)
2)
3)
4)
Расстояние между двумя параллельными прямыми
В координатах
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
В координатах
Угол между двумя прямыми
Условия параллельности двух прямых:
а) Если прямые заданы уравнениями y=kx + b с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:
k1 = k2.
б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0,
, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых
или
Взаимное расположение прямой и плоскости
Плоскость
и
прямая
1)
пересекаются
2)
прямая лежит в плоскости
3)
параллельны
Если
то
случаи 1 - 3 имеют место, когда:
1)
2)
3)
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.
Необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости
или
Угол между прямой и плоскостью
Точка пересечения прямой с плоскостью
В координатах:
где
Уравнения
прямой, проходящей через точку
перпендикулярно
к плоскости
В координатах:
