Область допустимых планов. Оптимальный план и оптимум
Рассмотрим вопрос о решении задач линейного программирования. Подчеркнем, что на стадии решения задачи ее экономический смысл отступает на второй план. Можно даже вовсе не знать, из какой конкретной экономической ситуации возникла та или иная математическая модель. Решение задачи - это чисто математическая процедура. Однако, чтобы, получив результаты решения, воспользоваться ими, нужно, конечно, вернуться к экономическому содержанию задачи, сопоставить полученные результаты с конкретными экономическими условиями.
Рассмотрим сначала метод решения относительно простых задач, задач с двумя переменными. Как мы знаем, всякую задачу линейного программирования можно привести к стандартной форме. Рассмотрим задачу с двумя переменными следующего вида
Планы такой задачи - это пары чисел (x1, x2). Им соответствуют точки координатной плоскости (Рис. 2 .1).
Рис. 2 .1. Ограниченная область допустимых планов
Область допустимых планов
Рассмотрим систему ограничений. Возьмем одно из неравенств системы,
Множество решений неравенства, то есть множество пар (x1, x2), компоненты которых удовлетворяют неравенству, геометрически представляет собой полуплоскость. Для того чтобы определить граничную прямую этой полуплоскости, следует заменить знак неравенства знаком равенства:
Множество решений полученного уравнения представляет собой искомую прямую. Таким образом, графическое изображение решения неравенства, то есть изображение полуплоскости, следует начать с изображения граничной прямой.
Для того, чтобы построить прямую, достаточно знать две ее точки. Построенная прямая разделит плоскость на две части, то есть определит две полуплоскости. Для того чтобы определить полуплоскость, соответствующую нашему неравенству, следует взять какую-нибудь точку в любой из полуплоскостей и проверить, удовлетворяют ли ее координаты нашему неравенству.
Если неравенство окажется выполненным, то вся полуплоскость, в которой лежит эта точка, является множеством решений неравенства. Если неравенство не выполнено, то множеством решений является противоположная полуплоскость. Отметим, что и в том, и в другом случае граничная прямая относится к множеству решений неравенства, так как неравенство нестрогое и включает в себя равенство.
Каждое из неравенств системы ограничений определит свою полуплоскость. Последние неравенства, требующие неотрицательности значений переменных, определяют правую и верхнюю полуплоскости, граничными прямыми которых являются координатные оси.
Множеством решений системы неравенств в целом является пересечение всех полуплоскостей, соответствующих отдельным неравенствам системы. Это пересечение и определяет множество допустимых планов. Это множество часто называют также областью допустимых планов (сокращенно ОДП). Оно представляет собой выпуклую многоугольную область.
В типичной, наиболее часто встречающейся ситуации, множество допустимых планов представляет собой ограниченную выпуклую многоугольную область — выпуклый многоугольник, расположенный в первой координатной четверти. Но возможны и другие варианты.