- •Матрицы: определение и свойства.
- •Определители: свойства, определители 1го и 2го порядков
- •Вычисление определителей высших порядков
- •5. Метод приведения к треугольному виду.
- •6. Формула для ведущих элементов.
- •Системы линейных уравнений, методы их решения (Крамера, Гаусса, матричный)
- •Векторы, действия с векторами, скалярное произведение векторов, лз и лнз векторы
- •Векторное и смешанное произведения векторов
- •Линейное векторное пространство: определение, свойства.
- •Базис линейного векторного пространства, переход от одного базиса к другому
- •Линейные операторы, матрица линейного оператора
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Квадратичные формы: определения, свойства, теоремы.
- •Прямая на плоскости, способы задания
- •1.Двумя точками (а и в).
- •2. Двумя плоскостями (a; b).
- •3. Двумя проекциями.
- •2. Для построения фронтального следа n прямой нужно из точки пересечения горизонтальной проекции её с осью 0x восстановить перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.
- •13. Расположение прямой на плоскости
- •14. Кривые второго порядка
- •Окружность
- •Гипербола
- •15. Способы задания и расположение плоскости в пространстве
- •16. Способы задания прямой в пространстве Векторно-параметрическое уравнение прямой
- •17. Основные задачи в пространстве: углы, условие параллельности и перпендикулярности
- •18. Основные задачи в пространстве: расстояния, взаимное расположение двух прямых
- •19. Поверхности второго порядка
- •20. Задачи линейного программирования, экономическая модель
- •Экономическая модель задачи
- •21. Основы мат. Моделирования, мат. Модель задачи линейного программирования
- •Пример составления математической модели
- •22. Задача оптимального распределения ресурсов
- •Конкретная ситуация парис (Планирование и Анализ Рационального Использования Средств)
- •Построение математической модели
- •Общий вид задачи оптимального распределения ресурсов
- •Варианты задачи оптимального распределения ресурсов
- •Верхняя и нижняя граница плана
- •Комплектность выпуска
- •Изменение ресурсной обеспеченности
- •Динамическое планирование
- •23. Общая задача линейного программирования
- •Область допустимых планов. Оптимальный план и оптимум
- •Область допустимых планов
- •Оптимальный план и оптимум
- •Условия разрешимости задачи и единственности решения.
- •Построение области допустимых планов
- •Построение градиента и определение оптимального плана
- •24. Основные теоремы линейного программирования.
- •25. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •26. Симплекс-метод
- •27. Прямая и двойственная задача линейного программирования. Геометрическая интерпретация двойственной задачи
- •28. Транспортная задача Общий вид транспортной задачи
- •Пример транспортной задачи
- •29. Нелинейное программирование
Пример составления математической модели
Задача использования ресурсов (сырья)
Условие: Для изготовления n видов продукции используется m видов ресурсов. Составить математическую модель.
Известны:
bi ( i = 1,2,3,...,m) — запасы каждого i-го вида ресурса;
aij ( i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) — затраты каждого i-го вида ресурса на производство единицы объема j-го вида продукции;
cj ( j = 1,2,3,...,n) — прибыль от реализации единицы объема j-го вида продукции.
Требуется составить план производства продукции, который обеспечивает максимум прибыли при заданных ограничениях на ресурсы (сырье).
Решение:
Введем вектор переменных X=(X1, X2,...,Xn), где xj ( j = 1,2,...,n) — объем производства j-го вида продукции.
Затраты i-го вида ресурса на изготовление данного объема xj продукции равны aijxj, поэтому ограничение на использование ресурсов на производство всех видов продукции имеет вид:
Прибыль от реализации j-го вида продукции равна cjxj , поэтому целевая функция равна:
Ответ - Математическая модель имеет вид:
22. Задача оптимального распределения ресурсов
Расчетные методы, которые могут быть эффективно применены при анализе и расчете производственных планов, опираются на специально разработанный математический аппарат. Математическая теория таких расчетов известна под названием линейного программирования.
Линейное программирование описывает условия принятия экономических решений с помощью линейных функций, линейных уравнений и неравенств. Оно позволяет в достаточно простой и математически строгой форме отделить допустимые решения от недопустимых, проанализировать множество допустимых решений и однозначно ответить на вопрос о существовании или не существовании самого лучшего, оптимального решения. Если такое оптимальное решение существует, то методы линейного программирования позволяют его найти. Соответствующие расчеты и анализ полученных результатов могут быть проведены на компьютере.
Мы начнем с анализа конкретной ситуации. В этой ситуации, несмотря на ее кажущуюся простоту, присутствует большая часть проблем, возникающих в моделях распределения ресурсов. Затем мы рассмотрим проблематику такого рода задач в общем виде, и далее вернемся к развитию первоначальной конкретной ситуации.
Конкретная ситуация парис (Планирование и Анализ Рационального Использования Средств)
Петербургская фирма «Сфера» занимается производством кондитерских изделий: различных сортов печенья, бисквитов, кексов и др. Продукция, производимая фирмой, реализуется через сеть розничной торговли, и пользуется достаточно устойчивым спросом на региональном рынке.
Табл. 1.1. Характеристики сырья, стоимости, цены и состава готовых изделий
-
Виды сырья
Средняя закупочная цена (руб. за кг)
Наличные запасы сырья (кг)
Состав 1 кг Печенья
Состав 1 кг Бисквитов
Мука
7,60
825
0,5
0,3
Масло
44,00
480
0,3
0,06
Яйцо
16,00
720
0,18
0,6
Сахар
9,20
450
0,2
0,3
Стоимость ( руб.)
43050
21,72
17,28
Отпускная цена ( руб. за 1 кг)
32,00
27,00
Табл. 1.2. Характеристики использования трудовых ресурсов (человеко-часы)
-
Оплата 1 ч.-ч. при обычной работе (руб.)
Недельный объем трудовых ресурсов (ч.-ч.)
Оплата 1 ч.-ч. при св.-ур. работе (руб.)
Доступный недельный объем св.-ур. работы (часы)
Затраты труда (ч.-ч.)
на 1 кг Печенья
Затраты труда (ч.-ч.)
на 1 кг Бисквитов
25,00
200
50,00
100
0,07
0,09
Табл. 1.3. Характеристики производительности оборудования (в часах на 1 кг изделий)
-
Затраты и фонд времени
(в часах)
Вид оборудования
Недельный фонд времени работы оборудования
На 1 кг Печенья
На 1 кг Бисквитов
По подготовке и разделке теста
40
0,015
0,006
По выпечке готовых изделий
40
0,0075
0,015
Табл. 1.4. Характеристики доставки и хранения по каждому виду сырья
-
Средние затраты на заказ и доставку (руб.)
Стоимость хранения 1 кг сырья
(руб. в неделю)
1000
0,35
Табл. 1.5. Оценки спроса на кондитерские изделия
-
Виды кондитерских изделий
Печенье
Бисквиты
Предварительные оценки недельного объема продаж (кг)
3000
3000
Что можно извлечь из имеющихся ограниченных производственных возможностей фирмы, и как наилучшим образом использовать эти возможности? Как сформировать максимально эффективный производственный план? В чем узкие места такого плана? Позволяют ли производственные мощности расширить при необходимости объемы производства? Что и как следует изменить в исходной ситуации в первую очередь с тем, чтобы повысить эффективность плана? Сохраняет ли эффективный план устойчивость при изменении производственной ситуации? Можно ли вообще определить хороший устойчивый план в нестабильной производственной ситуации? Или это должна быть система планов? Как построить такую систему, учитывающую изменения ситуации? Необходимые характеристики для анализа условий работы фирмы «Сфера» по производству двух основных продуктов – песочного печенья (Печенье) и бисквитных изделий (Бисквиты) представлены в табличной форме (Табл. 1.1 - Табл. 1.5).
Производственный план для фирмы «Сфера» должен быть представлен двумя числами, соответствующими объемам выпуска двух видов продукции: Печенья и Бисквитов.
Некоторые планы могут оказаться недопустимыми (невозможными), для них не хватит имеющихся в наличии ресурсов. Другие будут допустимыми, для них ресурсов хватит. Ограниченность спроса также должна быть учтена при определении допустимости производственного плана.
Возможных, допустимых планов, конечно, чрезвычайно много. Каждому такому плану соответствует своя величина выручки от продажи готовых изделий. Задача состоит в нахождении наилучшего, оптимального плана, то есть такого допустимого плана, которому соответствует наибольшая выручка.