13. Расположение прямой на плоскости

1. Прямая проходит через начало координат О (0;0) Ах+Вх=0

2. Прямая параллельна оси ( ох ): Ву + С=0

3. Прямая параллельна оси ( оу ): Ах+ С=0

Взаимное расположение 2-х прямых А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0

1. Прямые совпадают: А₁/ А₂=В₁/ В₂=С₁/ С₂

2. Прямые параллельны: А1/А2=В1/В2≠С1/С2

3. Прямые пересекаются: если нет пропорций коэффициентов у = К₁х+в₁ и у=К₂х+в₂

- прямые совпадают: К₁=К₂ и в₁=в₂ - прямые параллельны: К₁=К₂

- прямые перпендикулярны: К₁К₂= -1

Основные задачи прямой на плоскости

1. Точка пересечения 2-х прямых : { А₁х+В₁у+С₁=0

А₂х+В₂у+С₂=0

- если единственное решение (х_о, у_о)- это точка пересечения

- если нет решений, то прямые параллельны

- если бесконечное множество решений, то прямые совпадают

2. Расстояние от точки М_о (х_о, у_о)до прямой Ах+Ву+С=0 d=│Ах_о+Ву_о+С│/корень из А²+В²

Расстояние между параллельными прямыми: берём производную точку1-ой прямой и находим расстояние от неё до другой

3. Угол между прямыми v

а) А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂х+С₂=0

Cos v=А₁ × А₂+В₁×В₂/ корень изА₁²+В₁² × на корень из А₂²+В₂² – угол между параллельными векторными прямыми.

б) у=К₁х+в₁ и у=К₂х+в₂

tg v= К₂-К₁ / 1 - К₁К₂

4. Геометрический смысл знаков трёхчлена Ах+Ву+С, (взаимное расположение точки и прямой). точка Мо(х_о,у_о) и прямая А_х+В_у+С=0

- если Ах_о+Ву_о+С>0, то М_о выше прямой

- если Ах_о+Ву_о+C<0, то точка М_о ниже прямой

- если Ах_о+Вх_о +С=0, то точка М_о лежит на прямой

14. Кривые второго порядка

Определение

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае это уравнение имеет следующий вид: при этом предполагается, что хотя бы один из коэффициентов А, B, C не равен нулю.

Любая линия второго порядка представляет либо окружность, либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу. Другие случаи линий второго порядка называются вырожденными.

Окружность

Простейшей кривой является окружность. Ее уравнение имеет вид:

Это уравнение второй степени относительно х и у. Следовательно, окружность есть кривая второго порядка.

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим фокусы через F₁ и F₂, расстояние между ними 2c , а постоянную величину, равную сумме расстояний от каждой точки эллипса до фокуса, через 2a (по условию 2a >2c).

Построим декартову систему координат так, чтобы фокусы F₁ и F₂ оказались на оси абсцисс, а начало координат совпало с серединой отрезка F₁F₂ . В выбранной таким образом системе координат фокусы имеют координаты: левый фокус F₁(-c, 0) и правый F₂ (c,0).

Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса. По определению сумма расстояний от этой точки до фокусов равна 2a. Исходя из этого определения и введя обозначение: a²- c²= b², получим уравнение эллипса:

Оно называется каноническим уравнением эллипса.