64(106). Коэффициент корреляции и его свойства

Простейшей характеристикой связи случайных величин ₁ и ₂ является так называемый коэффициент корреляции, определяемый формулой

где а₁ = М₁, а₂ = М₂ , = D₁ , =D₂

Для независимых величин ₁ и ₂ коэффициент корреля­ции равен 0. В общем случае он всегда лежит в пределах - 1 < r < 1. Если r = -1 или r = 1, то ₂ линейная функция от ₁ :

Вообще, каков бы ни был коэффициент корреляции, величина дает наилучшее линейное приближение для случайной величины ₂ наилучшее в том смысле, что

где min берется по всевозможным постоянным с₁ и с₂.

Ана­логично величина является наи­лучшим линейным приближением для ₁ .

Случайные величины ₁ и ₂ называются некоррелиро­ванными, если их коэффициент корреляции равен 0. На­пример, не коррелированны наилучшее линейное прибли­жение ₁ и разность ₂-_2.

Коэффициент корреляции случайных величин ₁ и ₂ грубо говоря, характеризует лишь «степень линейной зави­симости» ₁ и ₂. Пусть, например, ₁ - симметрично рас­пределенная величина с плотностью р_(х) такой, что р_(-х)=р_(х) , и пусть ₂ =₁. Тогда, хотя величина ₂ и является функцией от ₁, коэффициент корре­ляции величин ₁ и ₂ будет равен 0, поскольку

.

Свойства коэффициента корреляции

1. -1 r_,1

2. Если r_,=1, то с вероятностью 1 выполняется соотношение:

3. 

(т.е. в этом случае  и  связаны линейным соотношением).

Поэтому r_, можно рассматривать как меру линейной зависимости величин  и . Если величины  и  таковы, что r_, = 0, то они называются некоррелированы. Тогда

.

65. Коррелированные и некоррелированные случайные величины.

Случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля, и некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю.

Если случайные величины независимы, то они и некоррелированы, но из некоррелированности нельзя сделать вывод о их независимости.

Если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

№66. Двовимірна нормальна випадкова величина, її диференціальна функція розподілу.

Случайная величина Х, возможные значения которой определяются двумя числами, называется двумерной случайной величиной. Если обе компоненты XY непрерывны, то и двумерная случайная величина является непрерывной. Функцию распределения двумерной случайной величины (XY) (дискретной или нерерывной) называют функцию F(x, y), которая для каждой пары чисел x, y определяет вероятность того, что Х примет значение меньше, чем х, при этом Y – меньше, чем y: . Геометрически эту вероятность можно описать так: F(x, y) - это вероятность того, что случайная точка (XY) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (x, y), который находится влево и ниже этой вершины. Плотностью распределения вероятностей двумерной случайной непрерывной величины называется вторая смешанная производная функции распределения : . Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения. Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1). .

2). .

3). .

4). Если ₁(х), ₂(y) – плотности распределения каждой из компонент, то: , , , .

5). Если компоненты Х и Y независимы, то

.