50. Уравнение Маркова.

Пусть P_ij(n) – вероятность того, что в результате n испытаний система перейдет из состояния i в состояние j, r – некоторое промежуточное состояние между состояниями i и j. Вероятности перехода из одного состояния в другое p_ij(1) = p_ij.

Тогда вероятность P_ij(n) может быть найдена по формуле, называемой равенством Маркова:

Здесь т – число шагов (испытаний), за которое система перешла из состояния i в состояние r.

В принципе, равенство Маркова это несколько видоизмененная формула полной вероятности.

Зная переходные вероятности (т.е. зная матрицу перехода Р₁), можно найти вероятности перехода из состояния в состояние за два шага P_ij(2), т.е. матрицу Р₂, зная ее – найти матрицу Р₃, и т.д.

Непосредственное применений полученной выше формулы не очень удобно, поэтому, можно воспользоваться приемами матричного исчисления (ведь эта формула по сути – не что иное как формула перемножения двух матриц).

Тогда в общем виде можно записать:

51. Двумерная дискретная случайная величина, ее распределение.

Рассмотрим испытание, результатом которого является появление двух чисел из некоторого конечного либо счетного множества пар чисел. Это испытание физически может быть одним испытанием, а также может быть композицией двух испытаний, каждое из которых порождает одномерную дискретную величину. Условно двумерная дискретная случайная величина обозначается как XY или X:{x₁, x₂, ...,x_s}, Y:{y₁, y₂, ...,y_n}. Проводя испытание над двумерной случайной величиной находят одно из чисел из X либо из Y. А вероятностное пространство двумерной случайной величины формально строится так:

Двумерной случайной величиной называется система из двух одномерных случайных величин X, Y, где как X, так и Y являются дискретными случайными величинами.

В пространстве элементарных событий дискретной случайной величины XY определим сложное событие A: В результате испытания над двумерной случайной величиной XY, случайная величина X приняла значение x_i, случайная величина Y - любое значение.

Вводим сложное событие B: В результате испытания над двумерной случайной величиной XY, случайная величина Y приняла значение y_j­.

Двумерная дискретная случайная величина называется случайной величиной с независимыми компонентами, если

Закон распределения дискретной двумерной СВ задается набором возможных значений этой СВ (x_i, y_j) и соответствующих им вероятностей p(x_i, y_j) (i=12,…,m1,2,…n) причем p(x_i, y_j)=1. Закон распределения задают таблицей, в которой находятся возможные значения (x_i, y_j) компонент (X,Y) и соответствующие им значения p(x_i, y_j).

№52. Чисельні характеристики двомірної випадкової величини.

Двумерной случайной величиной называется система из двух одномерных случайных величин X, Y, где как X, так и Y являются дискретными случайными величинами.

Для двовимірної випадкової величини Z=(X,Y) можна знайти матиматичне сподівання і дисперсію кожної компоненти: , , , . Однак ці характеристики недостатньо повно характеризують величину Z, тому що не відтворюють ступінь залежності між компонентами. Цю роль виконують корреляційний момент і коефіцієнт кореляції .

Корреляційним моментом випадкових величин Х і  називають матиматичне сподівання добутку відхилень цих величин від своїх математичних сподівань: . Для обчислення коореляційного моменту дискретних величин використовують формулу: , а для неперервних величин – формулу: . Коефіцієнтом корреляції випадкових величин Х і  називають відношення корреляційного моменту до добутку середніх квадратичних відхилень цих величин . Коефіцієнт корреляції незалежних випадкових величин дорівнює нулю і становить безрозмірну величину.