8. Ряды

Рассмотрим последовательность чисел ,

Определение. Выражение называют числовым рядом, а значения – элементами числового ряда.

Определение. Сумму конечного числа п первых элементов числового ряда называют п-ой частичной суммой ряда и обозначают :

.

Рассмотрим последовательность п-ых частичных сумм числового ряда

Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм исходного числового ряда, то он называется сходящимся, а значение предела называют суммой числового ряда. В противном случае его называют расходящимся.

Таким образом: S – сумма числового ряда.

.

Пример 1. Исследовать ряд , который является геометрической прогрессией с первым элементом а и знаменателем q.

Решение. п-ая частичная сумма равна

Если , то прогрессия сходится.

Если , то прогрессия расходится.

Если , то не существует (проверьте!), прогрессия расходится.

Если , то прогрессия расходится.

Пример 2. Гармонический ряд расходится. Попробуйте это доказать самостоятельно.

Пример 3. Обобщенный гармонический ряд (или ряд Дирихле) сходится при и расходится при

Теорема 1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то

Доказательство.

.

Переходим к пределу:

ч.т.д.

Свойства сходящихся рядов

Теорема 2. Если сходится ряд, полученный из исходного путем отбрасывания конечного числа элементов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа его элементов.

Теорема 3. Если ряд сходится и ,то ряд , где , также сходится, и его сумма равна .

Теорема 4. Если ряды и сходятся, при этом u и v являются их суммами, то ряды также сходятся, а их суммами будут соответственно значения .

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Определение. Ряд называется знакоположительным, если все его элементы неотрицательны.

Теорема 5 (признак сравнения). Если для рядов с неотрицательными элементами и , начиная с некоторого , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , и из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Теорема 6 (предельный признак сравнения). Если ряд – ряд с неотрицательными членами, а ряд – со строго положительными, то в случае существования предела данные ряды либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Сравним с рядом . Члены данного и выбранного рядов действительные положительные числа и

Значит ряды либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Т.к. ряд расходящийся, то данный ряд расходится.

Теорема 7 (признак Даламбера). Если для ряда с положительными элементами , отношение -ого элемента к n-му элементу имеет конечный предел l, то

а) ряд сходится, если ,

б) ряд расходится, если ,

в) требуется дополнительное исследование, если

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Применим признак Даламбера:

.

Значит, ряд сходится.

Теорема 8 (радикальный признак Коши). Пусть – ряд с неотрицательными членами. Если существует , то:

а) ряд сходится при ,

б) ряд расходится при ,

в) требуется дополнительное исследование, если

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим радикальный признак Коши:

Значит, ряд сходится.

Теорема 9 (интегральный признак Коши). Пусть элементы ряда положительны и не возрастают: Существует непрерывная невозрастающая функция такая, что . Тогда:

1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и исходный ряд,

2) если указанный интеграл расходится, то расходится и исходный числовой ряд .

Пример 7. Исследовать ряд на сходимость .

Решение. Воспользуемся предельным признаком сравнения рядов.

В качестве ряда для сравнения выберем . Имеем

Следовательно, данный и выбранный ряд либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Выясним сходимость ряда . Для этого применим интегральный признак сходимости:

.

Значит, ряд сходящийся. Поэтому ряд также сходится.

Почему суммирование ряда начинается с номера , а не