Интегрирование рациональных дробей

Определение. Функция , где и являются многочленами, называется дробно-рациональной (или просто рациональной дробью). Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае – неправильной.

Примеры правильных рациональных дробей:

Примеры неправильных рациональных дробей:

Если рациональная дробь неправильная, то ее можно представить в виде суммы некоторой целой части и правильной рациональной дроби.

Рассмотрим пример такой процедуры для дроби

Процесс выделения целой части для данной неправильной рациональной дроби напоминает процедуру деления чисел уголком:

Таким образом:

Определение. Правильные рациональные дроби вида:

I. III. , где

II. IV. , где

называются простейшими дробями соответственно I, II, III и IV типов.

Интегралы от дробей I и II типа являются табличными. Интеграл от дроби III типа требует тождественных преобразований, связанных с выделением полного квадрата в знаменателе дроби и приведение исходной дроби к табличным интегралам. Осуществляется это следующим образом (выкладки проделаны в общем виде):

Интегрирование дроби IV типа приводит к более сложным вычислениям. Поэтому этот случай не рассматриваем, а в случае необходимости рекомендуем изучить литературу, приведенную в конце данного пособия.

Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы дробей простейшего типа I-IV. Это позволяют сделать следующие теоремы:

Теорема. Если является действительным корнем кратности k для знаменателя правильной рациональной дроби , то последнюю можно представить в виде суммы двух правильных рациональных дробей:

где , а степень многочлена ниже степени знаменателя

Замечание. К правильной рациональной дроби можно повторно применить данную теорему.

В конечном итоге, после многократного применения данной теоремы, исходная дробь допускает разложение:

при этом будет несократимой рациональной дробью.

Теорема. Если , где , многочлен не делится на , то правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы следующих правильных дробей:

Замечание. Применяя данную теорему к дроби и, продолжая этот процесс для вновь полученных дробей, в итоге получаем разложение:

Коэффициенты в разложениях, как в случае действительных корней, так и в случае комплексных корней, можно найти с помощью метода неопределенных коэффициентов. Суть этого метода рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 8. Вычислить интеграл

Решение. Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь, знаменатель которой имеет корень , кратность которого равна 3, и простой корень . Следовательно, эта дробь на основании приведенной выше теоремы может быть представлена в виде суммы дробей I и II типа:

Приводя к общему знаменателю дроби в правой части последнего равенства и приравнивая числители, получим:

, или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных, получаем систему уравнений для :



Исходный интеграл может быть представлен:

Пример 9. Вычислить интеграл:

Решение. Разложим подынтегральную функцию на дроби простейшего типа I и III, так как в знаменателе корень: − простой действительный, а уравнение имеет простые комплексные корни.

Таким образом: