Применение производной при исследовании функций Максимум и минимум функции

Определение. Функция в точке имеет максимум, если значение функции в точке больше, чем ее значение во всех точках некоторого интервала, содержащего точку

Определение. Функция в точке имеет минимум, если значение функции в точке меньше, чем ее значение во всех точках некоторого интервала, содержащего точку

Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только для значений аргумента х, принадлежащих данному отрезку.

Максимум и минимум функции называется экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие существования экстремума). Если функция имеет в точке экстремум, то ее производная в данной точке либо обращается в нуль, либо не существует.

Теорема (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, быть может, самой точки . Если при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то в точке функция имеет максимум. Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то функция в точке имеет минимум.

Теорема (достаточное условие существования экстремума). Пусть функция имеет первую производную, обращающуюся в нуль в данной точке : . Пусть также существует, непрерывна и отлична от нуля в некоторой окрестности и самой точке вторая производная Тогда в точке функция имеет максимум, если и минимум, если

Значения аргумента функции , при которых производная обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

1. Определяем критические точки, принадлежащие данному отрезку.

2. Вычисляем значения функции в полученных критических точках.

3. Вычисляем значения функции на концах рассматриваемого отрезка.

4. Из полученных выше значений функции выбираем наибольшее и наименьшее значения.

Пример. Для функции определить наибольшее и наименьшее значения на отрезке .

Решение. Определяем критические точки данной функции. Для этого находим первую производную и приравниваем ее к нулю:

Оба этих значения принадлежат отрезку . Находим вторую производную: Так как , то в точке функция имеет минимум, Так как , то в точке функция имеет максимум, Вычисляем значения функции на концах данного отрезка: Таким образом, наибольшее значение данной функции на отрезке есть а наименьшее

Направление выпуклости. Точки перегиба

Определение. График дифферен­цируемой функции называется выпуклым вниз на интервале если дуга кривой на этом промежутке расположена выше касательной, проведенной к графику функции в любой точке . Если же на интервале всякая касательная располагается выше дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым вверх. На рис. 1 график функции является выпуклым вниз на интервале и выпуклым вверх на интервале .

Если функция дважды дифференцируема на и ( ), то ее график является выпуклым вниз (вверх) на этом интервале. В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением выпуклости. Каждый из этих интервалов ограничен точками, в ко­торых вторая производная либо равна нулю, либо не существует. Точка в кото­рой направление выпуклости графика функции меняется на противо­положное, называется точкой перегиба.

Рис. 1.

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция дважды дифференцируема в некотором интервале, содержащем точку , в которой или не существует. Если при переходе через эту точку вторая производная меняет знак, то – точка перегиба.

Пример. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .

Решение. Найдем первую и вторую производные данной функции:

При и – на этих участках график функции выпуклый вниз. При – на этом участке график функции выпуклый вверх. Точки – точки перегиба.