4. Производная

Рассмотрим функцию , заданную на некотором промежутке. Дадим аргументу x приращение , тогда функция получит приращение

.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее произвольным образом стремится к нулю. Операция нахождения производной называется дифференцированием. Производная функции – это тоже функция.

Производная обозначается следующим образом:

По определению, при любом допустимом х: .

Таблица производных

1)	6)	11)
2)	7)	12)
3)	8)	13)
4)	9)	14)
5)	10)

Правила дифференцирования

1. где

2. 

3. 

4. 

Способы нахождения производной

1. Если функция является сложной: то

2. Если функция задана параметрически: то

3. Если функция задана неявно: , то .

Чаще для нахождения производной от функции, заданной неявно, применяют не саму вышеприведенную формулу, а процедуру ее нахождения (см. ниже пример 5). Заметим, что при нахождении переменную y нужно считать постоянной величиной.

4. Для нахождения производной от сложной функции, имеющей вид: , предварительно применяют операцию логарифмирования, в результате которой получаем:

Дифференцируем последнее равенство по х:

Из этого равенства находим

Производные высших порядков

Определение. Производной второго порядка от функции называется производная от производной функции : Вторая производная может обозначается следующим образом:

Определение. Производной n-го порядка от функции называется производная от производной -го порядка:

или

При нахождении производных от заданных функций в первую очередь необходимо установить способ задания функции. Затем, в зависимости от сложности функции, применяем соответствующую формулу и правила дифференцирования.

Пример 1.

Решение. Эта функция задана явно, по структуре является сложной. Представим эту функцию в виде степенной

и применим формулу производной от сложной функции и правила дифференцирования:

Пример 2. .

Решение. Применяем формулу производной от сложной функции:

Пример 3.

Решение. Применяя формулу производной частного, получаем:

Пример 4.

Решение. Данная функция является сложной: одновременно показательной и степенной. Поэтому для нахождения производной от этой функции в начале ее логарифмируем:

Дифференцируем последнее равенство с учетом того, что , получаем:

Пример 5.

Решение. В данном случае функция задана неявно. Дифференцируем заданную функцию с учетом того, что :

Рассматривая это равенство как уравнение относительно , получаем:

Пример 6.

Решение. Применяем формулу производной от сложной функции:

Замечание. Для упрощения вычислений можно предварительно преобразовать данную функцию:

Пример 7.

Решение. Функция задана параметрически. Применяем формулу производной о функции заданной параметрически:

Вычисляем производную второго порядка от функции, заданной параметрически: