Предел функции

Рассмотрим функцию определенную в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a.

Определение. Число А называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого положительного числа существует такое (зависящее от ) число , что для всех , удовлетворяющих условию выполняется неравенство

В этом случае пишут: .

Если и при этом , то говорят, что «х стремится к а слева», и пишут: . Если и при этом , то говорят, что «х стремится к а справа», и пишут: . Пределы и называют соответственно пределом функции в точке а слева и справа (если они существуют).

Теорема. Для того чтобы функция в точке а имела предел, необходимо и достаточно существование односторонних пределов функции , равных между собой:

Определение. Число А называется пределом функции при х стремящемся к  , если для любого сколь угодно малого положительного числа  можно указать число , что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству , будет выполняться неравенство .

При этом пишут:

Аналогичные определения существуют при (дайте их самостоятельно).

Определение. Функция называется бесконечно малой величиной при , если для любого сколь угодно малого положит значения , существует такое положительное число , что для всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

В этом случае пишут

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Предел суммы двух функций и , при равен сумме пределов от каждой из этих функций:

.

Теорема справедлива для любого конечного числа функций.

Теорема 2. Предел произведения двух функций и , при равен произведению пределов каждой из данных функций:

.

Теорема справедлива для любого конечного числа функций.

Теорема 3. Предел частного двух функций и при равен частному пределов этих функций:

, если

Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел: .

Здесь число е – основание натурального логарифма:

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в данной точке и некоторой ее окрестности и

Т.е. или

Последнее соотношение означает предельный переход под знаком непрерывной функций, который может быть использован при вычислении пределов.

Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если выполняется по крайней мере одно из условий:

1. Функция не определена в точке .

2. Односторонние пределы функции в данной точке не равны между собой:

3. Хотя бы один из односторонних пределов не равен значению функции в точке : или

4. Не существует предела функции в точке .

Функция , непрерывная в каждой точке некоторого интервала , называется непрерывной на интервале

Классификация точек разрыва:

1. Точка устранимого разрыва, в которой оба односторонних предела существуют и равны:

2. Точка разрыва первого рода, в которой оба односторонних предела существуют, но не равны:

3. Во всех остальных случаях точка называется точкой разрыва второго рода. Это могут быть точки, в которых по крайней мере один из односторонних пределов либо бесконечен, либо не существует.

Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными при , если . Пишут: .

При вычислении пределов часто используют таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при .

Таблица эквивалентных бесконечно малых величин

1)	4)	7)
2)	5)	8)
3)	6)	9)

В простейшем случае вычисление предела сводится к подстановке предельного значения аргумента в выражение предела. Однако чаще всего при этом получаются неопределенности одного из следующих видов:

, ,

Вычисление предела в этих случаях называют раскрытием неопределенности.

Пример 1. .

Решение. Выражения числителя и знаменателя являются многочленами, а при подстановке предельного значения в условие получаем неопределенность вида . Это говорит о том, что является корнем как числителя, так и знаменателя, т.е. числитель и знаменатель могут быть разложены на множители. Произведем разложение этих выражений. Для этого найдем корни уравнений и

Подставим полученные разложения в выражение предела:

Пример 2. .

Решение. В данном примере также имеем неопределенность вида . Наличие радикалов предполагает преобразования, связанного с умножением дроби на выражение, сопряженное к числителю:

Пример 3. .

Решение. В данном примере при подстановке предельного значения получим неопределенность вида . Выражение данного предела предполагает наличие в нем первого замечательного предела либо применения эквивалентных бесконечно малых величин:

Пример 4. .

Решение. При подстановке предельного значения получаем неопределенность . Конструкция данного выражения предполагает следующий способ раскрытия неопределенности. Выбираем наивысшую степень переменной, входящую в выражение данного предела. Для этого надо выбрать наибольшее значение из следующих чисел: , , и 1, которые являются наибольшими степенями переменных, входящих в выражение числителя и знаменателя. Наибольшим значением является . Делим числитель и знаменатель данного выражения на :

=

=

Пример 5.

Решение. При подстановке предельного значения получаем неопределенность вида . Конструкция данного предела предполагает наличие второго замечательного предела. С помощью тождественных преобразований выделяем второй замечательный предел:

= =

=

Пример 6.

Решение. При подстановке предельного значения переменной в выражение данного предела получаем неопределенность . Преобразуем числитель данной дроби по свойству логарифмической функции и применим к выражению числителя таблицу эквивалентных бесконечно малых функций: