15. Общее уравнение динамики. Уравнения движения в обобщенных координатах.

Рассмотрим систему материальных точек, на которую наложены идеальные связи. Если ко всем точкам системы приложены не только активные силы Fakи реакции связи Nk, но и силы инерции Fиk=-mkak, то согласно принципу Даламбера полученная система сил будет находиться в равновесии. Применяя к этим силам принцип возможных перемещений, получим:

∑δAak+∑δAиk+∑δArk=0,

но связи идеальные, следовательно

∑δAak+∑δAиk=0

Принцип Даламбера-Лагранжа: при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении будет равна нулю. Это и есть общее уравнение динамики.

(

Это просто уравнения Лагранжа второго рода, мой следующий пункт. Странно, но во многих моих вопросах повторяется содержимое твоих вопросов.

По определению обобщенные силы

.

Сумма их или

.

Но на основании общего уравнения динамика (3), правая часть равенства равна нулю. И так как все (k = 1,2,3,…,s) отличны от нуля, то . Подставив значение обобщенной силы инерции (17), получим уравнение

(k = 1,2,3,…,s). (18)

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах, уравнениями Лагранжа второго рода или просто – уравнениями Лагранжа.

Количество этих уравнений равно числу степеней свободы материальной системы.

)

Для общности далее не будем предполагать, что все связи идеальные ( то бишь в первую сумму элементарных работ могут входить как активные силы, так и силы трения, например)

∑δAk=Qnδqn;∑δAиk= Qиnδqn;Qиn- обобщенные силы инерции

Qиn=∑Fиk∂rk/∂qn∑(Qn+ Qиn) δqnδqn≠0 (Qn+ Qиn)=0 

Fиk=-mkdvk/dt

Задача перехода к кинетической энергии сводится к преобразованию правой части (21.3.7). Запишем скалярное произведение производных как

Введем традиционные обозначения, когда точка над величиной обозначает производную по времени:

то есть, действительную и обобщенную скорость.

Принимая к сведению, переместительность операций дифференцирования по t и q1, запишем:

а так же то, что

соотношение (21.3.8) представим как

Подставляя соотношение (21.3.12) в (21.3.8) получаем:

где

Для всех обобщенных сил инерции результаты аналогичны (21.3.13). Подставляя значения   в условия (21.3.6) получаем:

Уравнения Лагранжа или дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах. Их число равняется числу обобщенных координат или числу степеней свободы.

Уравнения (21.3.15) удобнее записывать как единое уравнение

где к = 1, 2, 3,..., S.

В случае потенциальных сил Qк будет представлена соотношениями (21.2.10) и (21.3.16) можно переписать как

или вводя функцию Лагранжа L = Т - П:

16. Уравнения Лагранжа второго рода.

По определению и обобщенные силы

.

Сумма их или

.

Но на основании общего уравнения динамика, правая часть равенства равна нулю. И так как все (k = 1,2,3,…,s) отличны от нуля, то . Подставив значение обобщенной силы инерции, получим уравнение

(k = 1,2,3,…,s). (18)

Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа второго рода или просто – уравнениями Лагранжа.

Количество этих уравнений равно числу степеней свободы материальной системы.