17. Потенциальное силовое поле. Потенциальная энергия и простейшие случаи ее вычисления.

Область, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует сила, зависящая от положения, координат этой точки, называется силовым полем.

Силовое поле задается уравнениями Fx=Ф1(x, y, z), Fy=Ф2(x, y, z),Fz=Ф3(x, y, z). Fxdx+Fydy+Fzdz=dU; dA=dU (x,y,z). Функция Uот координат x, y, z, дифференциал которой равен элементарной работе, называется силовой функцией.

Силовое поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным силовым полем, а силы, действующие в этом поле - потенциальными силами.

A(M1, M2)=M1M2∫dU(x,y,z)=U2-U1работа потенциальной силы ровна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути и от вида траектории движущейся точки не зависит.

Поле силы тяжести, если ось zнаправлена вертикально вверх, dA=-Pdz

U=0 при z=0  U=-Pz

Поле силы упругости, действующее вдоль оси Ox, dA=-cxdx, U=0 при x=0U=-cx2/2

Поле силы тяготения dA=mgR2d(1/r), U=0 при r=∞U=mgR2/r

Непотенциальными называются сил , работа которых зависит от вида траектории или от закона движения точки.

Потенциальная энергия материальной точки в данном положении М – скалярная величина П, равная той работе, которую надо совершить при перемещении точки из положения М в нулевое. П=АМ0

Потенциальная энергия в каждой точке силового поля равна значению силовой функции в этой точи, взятой с обратным знаком П(x,y,z)=-U(x,y,z)

A(M1, M2)=П1-П2 Работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном ее положениях.

Закон сохранения механической энергии: при движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергий системы в каждом ее положении остается величиной постоянной.

18. Вычисление обобщенных сил в потенциальном силовом поле.

Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где , а координаты точек – функции обобщенных координат, то

Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q1, q2, q3,…,qs).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Так если размерность [q] – метр, то размерность

= Нм/м = Ньютон, если [q] – радиан, то = Нм; если [q] = м2, то и т.п.

19. Уравнение Лагранжа 2-ого рода в случае потенциальной системы сил.

Если все действующие на систему силы потенциальны, то обобщенные силы равны частным производным от силовой функции ( или взятым со знаком минус частным производным о потенциальной энергии) по соответствующим обобщенным координатам. Qs=∂П/∂qs

Кинетический потенциал (функция Лагранжа) – равна разности кинетической ипотенциальной энергии L=T-П

В случае потенциальных сил уравнения Лагранжа примут вид:

или вводя функцию Лагранжа L = Т - П:

Следовательно, состояние механической системы , на которуюействуют потенциальные силы, определяется заданием одной только функции Лагранжа.