Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Термех шпоры.docx
Скачиваний:
11
Добавлен:
15.04.2019
Размер:
478.95 Кб
Скачать

3.Свободные и вынужденные колебания точки как пример второй задачи динамики.

Вторая задача динамики материальной точки: зная начальные условия, массу, приложенные к точке силы, определить ее движение, описываемое кинематическими уравнениями.

Порядок решения второй задачи динамики:

1. Составить дифференциальные уравнения для конкретного случая движения материальной точки.

2. Определить и записать начальные условия задачи.

3. Проинтегрировать дифференциальные уравнения в соответствии с методами, известными из курса математики, определяя постоянные интегрирования с помощью начальных условий, для нахождения единственногорешения.

4. Проанализировать полученный в решении закон движения материальной точки в зависимости от конкретных вопросов в задаче и найти ответы на них.

Свободные колебания без учета сил сопротивления. Точка М движется под действием одной восстанавливающей силы F. Fx=-cx. Составим дифференциальное уравнение в проекции на ось x: md2x/dt2=-cx. Учитывая, что c/m=k2d2x/dt2+k2x=0 –дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. x=entобщее решение уравнения принимает вид x=C1sinkt+C2coskt, если постоянные интегрирования принимают вид Aи αx=Asin(kt+ α); колебания, совершаемые поэтом закону, называются гармоническими. А – амплитуда, kt+ α – фаза; k – круговая частота. T=2π/k=1/ν – период. Свойства свободных колебаний: 1) амплитуда и начальная фаза зависят от начальных условий 2) частота и период от начальных условий не зависят и являются неизменными характеристиками данной колеблющейся системы; Постоянная силаP, не изменяя характер колебаний, смещает центр колебаний в сторону действия силы на величину статистического отклонения =P/c.

Свободные колебания при вязком сопротивлении (затухающие). Восстанавливающая сила Fx=-cx, сила сопротивления R=-μvx. Дифференциальное уравнение принимает вид: md2x/dt2= - cx-μdx/dtпусть c/m=k2, μ/m=2bd2x/dt2+2bdx/dt + k2x=0 – дифференциальное уравнение свободных колебаний при сопротивлении пропорциональном скорости.ищем в виде x=entk>bпустьk1=√k2-b2x=Ae-btsin(k1t+ α); - затухающие колебания; b>kb2- k2=r2 Движение точки не будет колебательным, будет асимптотически приближаться кнулю x=C1e-(b+r)t+ C2e-(b-r)tпри k=b. тоже колебательным не будет.

Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления. Пусть на точку кроме восстанавливающей силы Fx=-cx; действует возмущающая сила Qx=Q0sinpt (p-частота возмущающей силы). Тогда дифференциальное уравнение движения принимает вид: md2x/dt2=-cx+ Q0sinpt учитывая, что c/m=k2,Q0/m=P0d2x/dt2 + k2x= P0sinpt– дифференциальное уравнения колебаний точки при отсутствии сопротивления.x=x1+x2 x1=Asin(kt+α); полагая, что p≠kx2=Bsinpt. B– постоянная величина, которую надо подобрать. подставив данное значение в диффер. уравнение, получим  -p2Bsinpt+k2Bsinpt= P0sinpt; при любом t ;B= P0/( k2- p2)x2=P0/( k2- p2) sinptx= Asin(kt+α)+ P0/( k2- p2) sinpt1)Колебания с амплитудой A(зависящей от начальных условий) и частотой k, называемыесобственными 2) колебания с амплитудой B( не зависят от начальных условий) и частота p ( равна частоте возмущающей силы), называемые вынужденными колебаниями. В случае, когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место явление резонанса.

Вынужденные колебания при вязком сопротивлении. Кроме F, Qимеет место сила сопротивления R=-μvx. Дифференциальное уравнение этого движения имеет вид: md2x/dt2=-cx-μvx + Q0sinpt. d2x/dt2+2bdx/dt + k2x= P0sinpt – Дифференциальные уравнения вынужденного колебательного движения при наличии вязкого сопротивления. Его решение имеет x=x1+x2 x2=Bsin(pt-β), где Bи β – постоянные, которые надо подбрать. подставив производные данного уравнения в дифф уравнение. Выразим B( k2- p2)= P0cosβ, 2bpB= P0sinβB= P0/√( k2- p2)2+4b2p2; tgβ=2bp/ ( k2- p2)x=Ae-btsin(k1t +α) + Bsin(pt–β) рассмотренные колебания являются сложными, слагаются из собственных ивынужденных.Bsin(pt–β) – вынужденные колебания, зависят от частоты p, равной частоте возмущающей силы. Представляют собой гармонические незатухающие колебания.β – сдвиг фазы вынужденных колебаний по отношению к фазе возмущающей силы.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.