1. Дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки.

Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием сил F1,F2, …,Fnпо отношению к инерциальной системе отсчета Oxyz. Проектируя обе части равенства ma=∑F, учитывая, что ax=d2x/dt2и тд. Получим: md2x/dt2 =∑Fkx, md2y/dt2 =∑Fky, md2z/dt2 =∑Fkz. –Это дифференциальные уравнения движения точи в декартовой системе координат.

Для получения уравнения спроектируем обе части равенства на на оси Mτnb, то есть на касательную Mτ к траектории, на нормаль Mn, направленную в сторону вогнутости траектории, и бинормаль Mb. Учитывая, что aτ=dv/dt, an=v2/ρ, ab=0 mdv/dt=∑Fkτ; mv2/ρ=∑Fkn; 0=∑Fkb–дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.

Движение материальной точи будет несвободным, когда в силу наложения связей она вынуждена двигаться по заданной поверхности или кривой. Пусть точка движется по заданной гладкой кривой под действием активных сил F1a,F2a, …,Fna, и реакции связи N. Тогда дифф. уравнения принимают вид: mdv/dt=∑Fkτa; mv2/ρ=∑Fkna+Nn; 0=∑Fkba+Nb. В случае, если кривая не является гладкой к силам присоединяется сила трения.

(

Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся под действием сил , ,.., . Проведем неподвижные координатные оси Oxyz (рис.4). Про­ектируя обе части равенства на эти оси и учитывая, что и т.д., получим дифферен­циальные уравнения криволинейного дви­жения точки в проекциях на оси прямо­угольной декартовой системы координат:

, , .

Рис.4

Так как действующие на точку силы мо­гут зависеть от времени, от положения точки и от ее скорости, то правые части уравнений могут содержать время t, координаты точки х, у, z и проекции ее скорости . При этом в правую часть каждого из уравнений могут входить все эти переменные.

Чтобы с помощью этих уравнений решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать еще начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются в виде: при

.

Зная действующие силы, после интегрирования уравнений найдем координаты х, y, z движущейся точки, как функции времени t, т.е. найдем закон движения точки.

Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена.

Тела, ограничивающие свободу движения точки, называются связями.

Пусть связь представляет собой поверхность какого-либо тела, по которой движется точка. Тогда координаты точки должны удовлетворять уравнению этой поверхности, которое называется уравнением связи.

Если точка вынуждена двигаться по некоторой линии, то уравнениями связи являются уравнения этой лини.

,

Таким образом, движение несвободной материальной точки зависит не только от приложенных к ней активных сил и начальных условий, но так же от имеющихся связей. При этом значения начальных параметров должны удовлетворять уравнениям связей.

Связи бывают двухсторонние или удерживающие и односторонние или неудерживающие.