1.4. Дискретизация и квантование
Дискретизация
– представление непрерывного колебания
рядом значений, выбирающихся из
непрерывного колебания с определенным
шагом по времени. Величина шага выбирается
в соответствии с теоремой Котельникова.
Впервые она была сформулирована в 1933
г. на первом Всесоюзном съезде по вопросам
техники реконструкции дела связи и
развития слаботочной промышленности.
Эта же теорема за рубежом независимо
была доказана Найквистом, Шенноном и
Уитеккером [2]. Сущность теоремы сводится
к следующему. Если непрерывный сигнал
ограничен сверху частотой
(верхней частотой), его можно представить
в виде ряда дискретных значений, взятых
с интервалом по времени
|
|
(1.117) |
.
Не касаясь метода доказательства этой теоремы, который изложен в [15], приведём достаточное условие разложения, которое сводится к восстановлению непрерывного сообщения:
|
|
(1.118) |
.Восстановление
непрерывного сообщения, как следует из
(1.118), сводится к суммированию бесконечного
ряда дискретных отсчетов
с весовой функцией вида
.
Как следует из рис. 1.7 , функции в узлах,
кратных
,
обращаются в 0 все, кроме одной, для
которой
.
Это означает, что в данных точках ряд
(1.118) в узлах вырождается в один член, то
есть, в этих точках значения непрерывного
сигнала представляются рядом (1.118)
абсолютно точно.
В прямом выражении ряд (1.118) не может быть применим, так как необходимы сведения о бесконечном числе точек отсчёта, в том числе о тех отсчётах, которые к данному моменту не наступили. С другой стороны, функции, с помощью которых восстанавливается непрерывное колебание, физически нереализуемы, поскольку представляют собой переходные характеристики идеального фильтра нижних частот (фильтра с П-образной АЧХ). Независимо от этого, свойство представления колебания рядом дискретных отсчётов используется на практике, только формула (1.117) модифицируется:
|
|
(1.119) |
,
где
– коэффициент запаса, зависящий от
способа представления отсчётов и
характера восстановления непрерывного
колебания.
Процедура
представления непрерывного колебания
рядом отсчётов называется дискретизацией.
Чаще всего на практике используется
равномерная дискретизация, при которой
.
Случаи неравномерной дискретизации
будут рассмотрены ниже.
Если
возможный диапазон изменения
разбить на конечное множество областей
(квантов) с шагом
,
а значение
представлять по принципу принадлежности
к определённой области, такая процедура
называется квантованием. При этом
физическую величину заменяют условной
записью принадлежности к определённому
кванту. В простейшем случае эту функцию
выполняют аналого-цифровые преобразователи
(АЦП), в которых признак принадлежности
к определённому кванту представляется
двоичным кодом.
Приведём
пример. Предположим, проводится процедура
квантования напряжения в диапазоне
,
и число разрядов АЦП выбрано равным 8.
При 8-разрядном двоичном коде можно
закодировать
различных квантов (уровней). Абсолютная
величина одного кванта в этом случае
равна
,
что определяет погрешность квантования
в
.
Тогда, например, амплитуда
будет представлена кодом 01001010. В принципе
этот код можно представить символом в
коде ASCII, что не изменяет точности
измерения.
Процедуры дискретизации и квантования можно представить в виде временных диаграмм, что представлено на рис. 1.18.
Случаи нелинейного квантования в принципе используются [30], но практически используются редко в связи с большим распространением линейных АЦП, в том числе в интегральном исполнении.
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 1.18. Дискретизация и квантование: временные диаграммы
Контрольные вопросы
1. В чем состоит основное преимущество теоремы Котельникова?
2. Каковы основные недостатки ряда Котельникова? Каким способом они снижаются?
3. Приведите примеры использования теоремы Котельникова на практике.