5.3. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов

Это одно из направлений цифровой обработки, основанное на высшей алгебре. В основе теории чисел существует специфическая терминология (кольцо, моноид, полугруппа, группа, поле, векторное пространство) и своеобразная алгебра, основанная на системе аксиом, формулируемых на каждый из объектов.

Основное понятие в данном направлении – поле Галуа. Эварист Галуа – гениальный французский математик XIX века, сформулировавший основы теории полей, которые сейчас носят название полей Галуа . Сформулируем понятие поля Галуа. Поле Галуа относительно выбранного целочисленного модуля определяется следующими аксиомами.

1. Полнота: существует ровно элементов, которые могут рассматриваться как база дальнейших преобразований.

Существует конечная группа преобразований, относительно которой формируется алгебра. В дальнейшем будем рассматривать единственную функцию, которая может претендовать на новую алгебру, а именно сложение по модулю . В ходе алгебраической процедуры возможна единственная процедура, сложение по модулю , что означает следующее:

,

где считается остатком от операции .

Например, , тогда .

Ранее мы уже оговаривали: результат должен входить в пространство целых чисел от 0 до .

Аналогичная задача была описана относительно умножения целочисленных переменных при создании приведенных функций ДЭФ относительно модуля , но только при вычислении окончательных результатов делается приведение относительно модуля . Такие действия называются также арифметикой в остатках, а сама арифметика опирается на два действия: сложение по модулю , описанное ранее, и умножение по модулю , в принципе эквивалентное приведению по модулю.

На практике для достижения результатов любого алгоритма необходимо и достаточно, чтобы область допустимых остатков имела такое их множество, чтобы перекрыть желаемую область с заданным результатом. Приведем пример из метрологии: для достижения заданной точности измерений необходимо, чтобы код результата содержал такое количество разрядов, которое при кодировании перекрывает допустимую погрешность. Например, используется при количественной оценке 8-разрядной код. Так как количество различных комбинаций этого кода , то асимптотическая погрешность составит . В данном примере не учитываются погрешности округления при вычислениях, накапливающиеся ошибки при нескольких вычислительных операциях и т.д. Вследствие этого существует объективное ограничение модулярной арифметики (арифметики в остатках):

,

(5.22)

где – разрядность двоичного кода остатка, –допустимая погрешность.

Фактически выбирается с запасом для снижения вычислительных погрешностей.

2. Замкнутость: независимо от используемого вычислительного алгоритма результат находится в пределах заявленного множества значений. Если разрядность двоичного кода остатка равна , то результат оценивается с точностью:

.Р

(5.23)

Для повышения точности существует единственный способ – повышение разрядности.

В теоретико-числовых преобразованиях (ТЧП) есть серьезное преимущество: точность вычислений не зависит от количества вычислительных операций. Это связано с тем, что при целочисленном представлении отсутствуют погрешности округления, которые в обычной арифметике накапливаются. Но в данном случае увеличивается количество разрядов.

В теории чисел операции над целыми числами принято оформлять двойными скобками (введено Л. Эйлером). Например,

(5.24)

означает, что произведена операция над двумя целыми числами, и , а результат существует в виде остатка по модулю .

В теории чисел важное значение имеет выбор модуля преобразования . Это главная проблема ТЧП. Во-первых, модуль должен быть достаточно большим, иначе нарушается правило (5.22). Во-вторых, он должен быть вычисляемым, чтобы можно было его повысить в случае необходимости.

В качестве основы ТЧП наиболее популярными считаются модули, основанные на числах Ферма и Мерсенна. В ХVI веке католический монах Энрике Ферма вывел малую и большую теоремы Ферма. Малая теорема была доказана в ХIХ веке, большая – в конце ХХ века. Также Ферма раскрыл древнегреческую шараду из области теории чисел. Шарада состоит в том, как найти формальное правило вычисления простых чисел. Он предложил алгоритм, записывающийся в виде:

,

(5.27)

где – целое число.

Оказалось, что до (т. е. ) это правило работает, далее числа получаются составными, т. е. разлагаются на сомножители. Что характерно, в дальнейшем числа с «довеском», т. е. +1, и с «недовложением» –1, образуют два различных класса преобразования.