Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
a4.doc
Скачиваний:
45
Добавлен:
19.12.2018
Размер:
11.89 Mб
Скачать

5.5. Основы цифровой фильтрации

Цифровые фильтры (ЦФ) – это качественно новые средства обработки цифровых сигналов, существенно отличающиеся от их аналоговых «родственников». Напомним, что частотнозависимые звенья включают в себя реактивные элементы (индуктивности и емкости), а порядок фильтра определяется количеством таких элементов. Примеры частотнозависимых звеньев приведены на рис. 5.11. Здесь рис.5.11 представляет пассивный режекторный фильтр, известный в литературе как Т-образный мост. Судя по количеству реактивных элементов, это фильтр третьего порядка, причём при должной настройке элементов он на какой-то резонансной частоте не пропускает входной сигнал. Вторая схема, рис.5.11 , – это активный полосовой фильтр второго порядка, реализованный на операционном усилителе ОУ.

Рис. 5.11. Примеры реализации аналоговых фильтров

Недостатком таких фильтров является их принципиальная неустойчивость: попытки реализовать фильтр высокого порядка приводят к тому, что он самовозбуждается и превращается в генератор. Существует правило, согласно которому аналоговое частотнозависимое звено порядка выше четвертого принципиально неустойчиво.

Фильтр не обязательно состоит из электрозависимых элементов. Возможны механические, биологические, термодинамические аналоги фильтров. Например, пружина может быть описана как частотнозависимое звено второго порядка, глушитель автомобиля – звено третьего порядка и т.д. Это пассивные звенья. Активные элементы требуют внешнего источника энергии и вследствие этого могут становиться неустойчивыми. Хорошим примером служит кварцевый резонатор. Из пластины кварца вырезается параллелепипед, обладающий уникальным свойством магнитострикции: изменением кристаллической решетки под действием внешнего магнитного поля. Аналогичные свойства проявляются в кристаллах, называемых сигнетоэлектриками, и подпадающими под эффект Холла.

Элементы такого типа пассивны, следовательно, устойчивы, но при включении их к активным элементам превращаются в генераторы.

Цифровой фильтр – это программа, т. е. не совокупность физических элементов, а процедура обработки цифровых эквивалентов внешних воздействий. Это не только абстрактная система, но и технически поддержанное устройство на базе сигнального процессора. Цифровая фильтрация дает качественно новый скачок, позволяющий организовать новые приемы и технологии, принципиально недостижимые на уровне аналоговых устройств.

Сформулируем понятие частотнозависимого звена. Это любая автономная система (автономная – это значит, рассматриваемая как независимый объект, для которого есть входные воздействия и выходные реакции). Звено описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Известно, что дифференциальные уравнения характеризуют свойства любой частотнозависимой системы. Под это определение может «проникать» любой объект, будь то естественное образование (например, муравей) или техническая система (самолёт). В динамике свойство объекта описывается выражениями двух типов:

– система без обратных связей, описываемая однородными дифференциальными уравнениями типа (5.28):

(5.28)

– система с обратными связями, описываемая дифференциальными уравнениями вида:

(5.29)

Здесь в (5.28) и (5.29) присутствуют производные по времени различных порядков. Сложность описыва6емой системы оценивается максимальной степенью дифференциального уравнения, которая определяет порядок системы.

Рис. 5.12. Структура цифрового фильтра

В цифровых фильтрах подход к порядку совсем другой (рисунок 5.21). Здесь, кроме ранее рассмотренных сокращений, БП – буферная память. ППЗУ, как и прежде, организует программу обработки цифровых отсчётов. Порядок ЦФ в основном определяется объемом буферной памяти и не имеет ничего общего с аналоговыми элементами. Главный ресурс цифрового фильтра – производительность процессора и объём буфера.

При цифровой обработке сигнала производится переход от аналоговой формы представления к дискретной.

На рис. 5.13 показан переход от непрерывного колебания к дискретному.

Рис. 5.13. Переход к дискретной форме представления

На рис. 5.13 показано представление производной непрерывного колебания, эквивалентное тангенсу угла наклона касательной в этой точке. Это классическое определение Ньютона-Эйлера.

В случае совокупности дискретных отсчетов понятие производной теряет смысл. Его заменяет определение первой разности:

(5.30)

как это показано на рис. 5.22 .

Если первая разность эквивалентна первой производной, то вторая производная эквивалентна второй разности:

(5.31)

Аналогично можно строить эквивалентные преобразования для линейной системы любого уровня сложности. Например, третья разность представится в форме:

(5.32)

Фактически решение уравнения гораздо сложнее, чем приведено в выражениях (5.30 – 5.32). В частности, добавляются множители , формирующие нужный способ обработки дискретных сигналов. В результате в окончательной форме выражение (5.29) представляется в виде:

(5.33)

где – дискретные отсчеты на «входе» любого анализируемого объекта; – реакция объекта на эти воздействия.

Полученное выражение (5.33) значительно отличается от исходного (2.28). Тем не менее, оно при должной подборке коэффициентов может быть достаточно приближенно к желаемому результату.

Выражение (5.33) эквивалентно описанию ЦФ с конечной импульсной характеристикой (или КИХ-фильтру).

Обычно КИХ-фильтр изображают в виде структурной схемы, приведенной на рис. 5.14)

Рис. 5.14. Структура КИХ-фильтра

Здесь элемент со знаком означает задержку на такт. В принципе это условно, поскольку означает просто два соседних отсчета. Физически это во времени может представлять любую величину, включая как регулярное время по теореме Котельникова, так и произвольные такты, соответствующие изменениям состояния объекта.

В соответствии с рисунком 5.14 и его интерпретацией по формуле (5.33), необходимым и достаточным условием реализации КИХ-фильтра является задание коэффициентов αs. В базовом виде они задаются в виде функции:

(5.34)

Рис. 5.15. Функция Котельникова ее дискретные аналоги

В принципе, это дискретные отсчеты некоторой базисной функции вида , лежащей в основе теоремы Котельникова и показанной на рисунке 5.15. В цифровой форме получение такой функции не проблематично, как и умножение на цифровые отсчеты. Проблема заключается в следующем. При такой постановке задачи фильтрации проявляется так называемый эффект Гиббса: на выходе ЦФ появляется переходный процесс, не зависящий ни от свойств функции, ни от порядка фильтра. Это необычное свойство цифровой фильтрации, но оно имеет реальные аналоги. Допустим, мы едем в поезде и смотрим в окно. Изображение, попадающее к нам, зависит от участка, который мы наблюдаем. Так, если мы изучаем «набегающее» изображение с левой части окна или «уходящее» в правой его части, оно будет отличаться от статической картины в центре.

Для снижения эффекта Гиббса вводят специальную функцию окна (обычный вариант реализации по (5.33) считает, что окно прямоугольное). Тогда выражение (5.33) примет форму:

(5.35)

Здесь rk и есть весовой коэффициент, снижающий эффект Гиббса. Существует достаточно большое число весовых функций, ограничимся их основными представителями. Предварительно введем понятие спектральной функции окна. Это дискретный аналог интеграла Фурье, осуществляющий перенос окна в частотную область:

(5.36)

При непрерывном изменении ω получается гладкая функция, обладающая классическими свойствами ограниченности по частоте:

(5.37)

и четности:

(5.38)

Одним из характерных показателей качества КИХ-фильтров служит переходная характеристика. Она получается в виде переходного процесса при подаче на вход фильтра единичного скачка , аналога функции Хевисайда.

Рис. 5.16. Реализации переходных характеристик

Рисунок 5.16 иллюстрирует сказанное. На левом чертеже приведена функция единичного скачка, состоящая из дискретных значений с амплитудой 1, на правом чертеже изображены переходные характеристики двух типов, колебательного (1) и апериодического (2).

Переходные характеристики имеют три параметра оценивания: скорость нарастания (определяется как разность по времени между двумя экстремумами), перерегулирование (определяется как амплитуда максимального отклонения от установившегося значения) и длительность переходного процесса . Последняя определяется следующим образом. Задается максимально допустимое отклонение от установившегося значения (например, 5 или 10%). Как только попадает в эту зону, не выходя в дальнейшем за ее пределы, переходный процесс считается установившимся, а последнее пересечение этой зоны и определяет .

Очевидно, что переходный процесс идеален, если он повторяет входную функцию, но это невозможно. В любом случае фильтр близок к идеальному, если для него , , .

Отметим еще два свойства . Установившаяся амплитуда для любого ЦФ равна 1. Другое свойство ЦФ заключается в том, что переходный процесс смещается на величину . Смещение означает задержку во времени, а – это порядок фильтра. Качество переходного процесса с увеличением возрастает, при этом происходит увеличение задержки.

Еще одна деталь. При сравнении фильтров 1 и 2, как правило, для колебательного фильтра меньше, но появляется .

Вернемся к спектральным характеристикам. Приведем два вида (см. рис. 5.17). Первый (а) назовем гладким, второй (б) – знакопеременным

а) б)

Рис. 5.17. Варианты спектральных характеристик

На рисунке 5.17 условно приведены верхние частоты спектральных характеристик, определяемые обычно по теореме Парсеваля:

,

(5.39)

где – допустимая погрешность.

Введем понятие главного лепестка частотной характеристики. Это его часть, ограничиваемая первым пересечением с осью. Очевидно, для гладких характеристик это понятие бессмысленно, тогда как на рисунке 5.17 б) главный лепесток заштрихован. Ширина этого лепестка – .

В теории ЦФ существует теорема, гласящая, что фильтр имеет лучшие характеристики при выполнении двух условий:

– если в главном лепестке находится подавляющая мощность;

– если ширина главного лепестка минимальна.

Как видим, эти требования противоречивы, поэтому идеального фильтра не существует; существует несколько альтернативных вариантов реализации ЦФ.

Приведем несколько примеров.

Прямоугольное окно. Функция окна формально может записаться в виде:

.

(5.40)

В данном варианте окно приводится симметрично к началу координат. В этом случае спектральная характеристика описывается выражением:

(5.41)

График этой функции в ее правой полуплоскости приведен на рис. 5.18.

Рис. 5.18. Спектральная характеристика прямоугольного окна

В главном лепестке функции содержится порядка 87% всей мощности, что немного.

Окно Хэмминга. Несмотря на то, что это окно гладкое, оно пользуется наибольшей популярностью на практике. Выражение для окна имеет вид:

.

(5.42)

Здесь – параметр окна. Частотная характеристика окна имеет вид:

(5.43)

Данное выражение означает, что результирующий спектр состоит из 3 составляющих: центральной (первый член), низкочастотной (второй член) и высокочастотной (последняя составляющая в выражении (5.43)). Здесь в качестве базового принято прямоугольное окно .

При изменении появляются различные способы фильтрации. Наиболее продуктивным при этом является окно Ханна, при котором =0,54. При =0,54 мощность главного лепестка в пределах удвоенной частоты относительно прямоугольного окна (т. е., при ) при окне Ханна составляет 99,96%. Это является главным аргументом в пользу окна Хэмминга.

Окно Кайзера. Здесь вводится дополнительный параметр , характеризующий качество преобразования. Общее выражение для функции окна имеет вид:

.

(5.44)

Здесь – так называемый коэффициент качества, введенный как некоторый компромисс между мощностью главного лепестка и его шириной; – функция Бесселя первого рода, широко используемая в радиотехнике и являющаяся асимптотическим решением дифференциального уравнения второго порядка в частных производных, именуемого цилиндрическим уравнением. Решение в общем случае неаналитическое и относится к так называемым цилиндрическим функциям:

(5.45)

Выражения (5.45) быстро сходятся, что способствует идеальному решению.

Здесь – функция Бесселя первого рода нулевого порядка, т.к. зависит только от ; – функция Бесселя первого рода порядка . Вид функций приведен на рисунке 5.19.

Рис. 5.19. Функции Бесселя I рода

Видно, что с увеличением порядка k амплитуда функций Бесселя снижается, а их амплитуда и затухание также возрастают. Спектральные характеристики имеют вид:

.

(5.46)

Здесь – ширина главного лепестка, получаемого как функция от коэффициента качества .

Другие виды окон используются сравнительно редко. Наиболее популярными, в конечном счете, являются окна Хэмминга. В результате цифровая фильтрация сводится к выбору порядка фильтра. Понятно, что здесь тоже существует компромисс между качеством фильтрации (повышается с увеличением порядка) и увеличивающейся при этом задержкой.

Оценим преимущества КИХ-фильтров. Главное – они абсолютно устойчивы: при любом порядке и любом соотношении коэффициентов переходная характеристика сходится. Поэтому компромисс при расчете фильтров состоит только в одном: обеспечить требуемое затухание при заданном времени задержки.

Обычно порядок КИХ-фильтра лежит в пределах 30-100; дальше его увеличивать нецелесообразно.

Второе преимущество – относительная простота расчетов. На практике вообще ничего не считается: выбирается порядок фильтра и окно Хэмминга (точнее окно Хоппа при =0,54).

Приведенные расчеты называются расчетами во временной области. Более сложный вариант – расчеты в частотной области, когда коэффициенты фильтра вычиляются по желаемой частотной характеристике. Здесь привлекают уже методы оптимизации, например, симплекс-метод.

Рис. 5.20. Структура БИХ-фильтра

Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры) реализуют уравнение (5.29) и включают в структуры обратные связи. Структура БИХ-фильтра представлена на рис. 5.20. Здесь порядок фильтра равен сумме порядков левой и правой частей уравнения (5.29).

В отличие от КИХ-ильтров, БИХ-фильтры гораздо более эффективны: при том же порядке они могут иметь намного лучшие характеристики. При этом их расчет намного более сложен и требует знание специального математического аппарата. Кроме того, как следует из названия, фильтры могут быть неустойчивыми. В результате при расчетах требуется учитывать области устойчивости, т. е. привязывать конкретные реализации (вычислять коэффициенты i иj применительно к конкретным сигналам). Это дело профессионалов; рядовые пользователи используют конечные результаты, которые в ряде случаев являются коммерческими продуктами.

В завершении раздела отметим следующее. Обычно структура устройства, обрабатывающего сигналы, сохраняет форму, приведенную ранее. Каждый из элементов (АЦП, БП, Пр и ППЗУ) имеет избыточность, которая позволяет реализовывать те или иные процедуры или функции. Прежние модели цифровых обрабатывающих устройств составлялись из отдельных микросхем. При этом ППЗУ устанавливалось в виде сменной микросхемы; для изменений функций устройства было достаточно заменить эту микросхему. Сейчас цифровое обрабатывающее устройство выполняется в виде единой микросхемы, в которую входят все эти элементы, и все это устройство просто перепрограммируется. При этом новые программы могут представлять коммерческий продукт, т. е. продаваться, а переустановка программы ведется стандартным способом.

ТЧП в качестве преимущества имеют потенциально более высокую производительность. Повышение производительности потенциально стремится к (т. е. 2,718…). Но для поддержания необходимости точности требуется такое же повышение разрядности.

В связи с последним фактором, ТЧП не нашли практической реализации, так как требуют разработки специальных процессоров, а это существенные затраты. Направление существует, но оно не реализовано, что случается достаточно часто в истории развития цивилизации.