Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет путей сообщения

_________________

О. И. Сердюк, Г. Б. Тодер

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.

ЗАДАЧИ

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний для самостоятельной работы студентов

при решении задач по физике

Омск 2011

УДК 530.1(075.8)

ББК 22.3я73

С 32

Колебания и волны. Задачи: Методические указания к решению задач по физике / О. И. Сердюк, Г. Б. Тодер; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2011. 37 с.

Методические указания составлены в соответствии с действующей программой по курсу общей физики для втузов, содержат список основных формул и задачи по теме «Колебания и волны», требующие применения теории колебаний и волн к гармоническим, затухающим и вынужденным колебаниям механических систем, к электрическому колебательному контуру, механическим и электромагнитным волнам. В набор задач для самостоятельной работы включены также задачи на сложение гармонических колебаний.

Предназначены для студентов 2-го курса дневного и заочного обучения технических вузов.

Библиогр.: 7 назв. Рис. 4.

Рецензенты: доктор техн. наук;

кандидат физ.-мат. наук О. А. Ивченко.

_________________________

© Омский гос. университет

путей сообщения, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 5

1. ЧАСТОТА И ПЕРИОД СВОБОДНЫХ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ 6

1.1. Основные формулы и обозначения 6

1.2. Задачи 6

2. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 8

2.1. Основные формулы и обозначения 8

2.2. Задачи 9

3. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ В ИДЕАЛЬНОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ 13

3.1. Основные формулы и обозначения 14

3.2. Задачи 14

4. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 16

4.1. Основные формулы и обозначения 16

4.2. Задачи 17

5. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 19

5.1. Основные формулы и обозначения 19

5.2. Задачи 20

6. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 22

В РЕАЛЬНОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ 22

6.1. Основные формулы и обозначения 22

6.2. Задачи 22

7. ВЫНУЖДЕННЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 25

7.1. Основные формулы и обозначения 25

7.2. Задачи 25

8. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ 27

И РЕЗОНАНС. ИМПЕДАНС 27

8.1. Основные формулы и обозначения 27

8.2. Задачи 28

9. ПЛОСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ 30

УПРУГИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 30

9.1. Основные формулы и обозначения 30

9.2. Задачи 31

10. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧИ 34

Библиографический список 35

Введение

С колебаниями и волнами встречаются при изучении самых разных физических явлений. Для понимания и решения задач на тему «Колебания и волны» требуются теоретические знания и навыки решения задач из других разделов физики. Поэтому, прежде чем приступить к решению задачи на данную тему, нужно тщательно изучить соответствующую теорию. Необходимые теоретические сведения имеются в литературе [1 – 7].

Несмотря на различную физическую природу, все колебательные процессы обладают общим характерным признаком – повторяемостью во времени – и исследуются с единой точки зрения. В частности, основным математическим аппаратом теории колебаний служат дифференциальные уравнения. Таким образом, одна из основных целей методических указаний – выработать общий подход к изучению всевозможных колебательных и волновых явлений.

Человек получает большую часть прямой информации об окружающем мире с помощью звуковых и световых волн, поэтому в физике особенно выделяют механические и электромагнитные колебания и волны.

Настоящие методические указания содержат большой набор разнообразных задач по теме «Колебания и волны». Пример правильного оформления решения задачи приведен в разд. 10.

Во всех задачах, включенных в методические указания, считается (если специально не оговорено в условии задачи), что колебания являются одномерными, т. е. состояние колеблющейся системы описывается зависимостью от времени только одной величины, которая называется обобщенной координатой.

После номера задачи в скобках указан уровень сложности (от 1 до 3).

1. Частота и период свободных незатухающих колебаний

1.1. Основные формулы и обозначения

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний¹ имеет вид:

, (1)

где – обобщенная координата системы, т. е. смещение системы от положения равновесия, меняющееся со временем по гармоническому закону;

–обобщенное ускорение;

–собственная (циклическая) частота колебаний системы.

Циклическая частота связана с частотой и периодомсобственных незатухающих колебаний соотношениями:

; (2)

. (3)

Возвращающая сила , действующая на систему, совершающую свободные незатухающие колебания, подчиняется закону Гука:

, (4)

где – обобщенный коэффициент жесткости;

–обобщенная масса.

Собственные частоты колебаний маятников:

1) – пружинного с массойи коэффициентом упругости пружины;

2) – физического с массой, моментом инерциии расстояниемот центра инерции до оси вращения (– ускорение свободного падения);

3) – математического с нитью длиной.

1.2. Задачи

1 (1). Найти собственную частоту колебаний математического маятника длиной 94 см и массой 0,4 кг.

2 (1). Период гармонических колебаний пружинного маятника равен 1,4 с. Масса груза 215 г. Найти коэффициент упругости пружины.

3 (1). Золотое колечко, поставленное вертикально в небольшое углубление на горизонтальной плоскости, может совершать малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия. Найти радиус колечка, если период колебаний равен 0,31 с.

4 (1). Однородный цилиндр радиусом 20 см подвешен на двух нитях равной длины к горизонтально закрепленной и расположенной на расстоянии 110 см от оси цилиндра перекладине. Найти период малых колебаний цилиндра вокруг перекладины (в вертикальной плоскости).

5 (1). Медный шарик, прикрепленный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного алюминиевый шарик такого же радиуса?

6 (1). Однородный стержень длиной 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей 1) через его верхний конец; 2) через точку, находящуюся на расстоянии 0,1 м от верхнего конца. Найти период колебаний стержня.

7 (1). Однородный шарик подвешен на нити, длина которой равна радиусу шарика. Во сколько раз период малых колебаний этого маятника больше периода колебаний математического маятника с длиной, равной расстоянию от точки подвеса до центра тяжести шарика?

8 (2). К вертикально висящей пружине подвешен груз. При этом период колебаний равен 0,3 с. После того, как к первому грузу подвесили второй, период колебаний увеличился в 1,2 раза. На сколько удлинилась пружина после того, как к ней подвесили второй груз?

9 (2). Найти период малых вертикальных колебаний тела массой , подвешенного на двух последовательно соединенных пружинках. Жесткости пружиноки.

10 (3). Ареометр (прибор для измерения плотности жидкости в виде тонкого цилиндра диаметром 1 см) массой 0,2 кг плавает в жидкости. Если его немного погрузить в жидкость и отпустить, то он начнет совершать вертикальные колебания с периодом 3,4 с. Считая колебания незатухающими, определить из этих данных плотность жидкости, в которой плавает ареометр.

11 (3). Вычислить период свободных незатухающих колебаний цилиндрического поплавка на поверхности озера, если поплавку сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса поплавка 20 г, его радиус 5 мм.

12 (3). Жидкость объемом 19 см³ налита в изогнутую U-образную трубку с одинаковой площадью сечения 0,5 см². Найти период малых колебаний жидкости. Трубка расположена вертикально.

13 (3). В кабине лифта подвешен математический маятник, период колебаний которого, когда лифт неподвижен, равен . Каким будет период колебаний, если лифт станет опускаться с ускорением, равным? С каким ускорением нужно поднимать лифт, чтобы период колебаний маятника уменьшился вдвое?

14 (3). На каком расстоянии от центра нужно подвесить тонкий стержень длиной , чтобы частота его колебаний была максимальна? Найти значение этой частоты.