Глава 1 Теоретические основы информационных технологий

Этот раздел предназначен для определения понятий и терминов, которые понадобятся для изложения последующего материала. Читатели, знакомые с основами теории сигналов и информации, могут его опустить; те же, кто пожелают углубить его изучение, могут обратиться к приведенному библиографическому списку.

1.1. Теория сигналов и спектральный анализ

О

Рис. 1.1. Структура процесса передачи информации

братимся вначале к общей структуре системы передачи информации, изображенной на рис. 1.1.

Здесь обозначено: И – источник сообщений (информации); К – кодер (кодирующее устройство); М – модулятор; ЛС – линия связи; ДМ – демодулятор; ДК – декодер; П – приемник сообщений. Это наиболее общая схема, которой можно описать большинство процедур передачи информации. Например, при речевом обращении роль источника выполняет мозг человека, кодер – его словообразующая часть, модулятор – ротоносовая полость, демодулятор – ухо собеседника, декодер и приемник – его головной мозг.

При любой процедуре передачи сообщений есть общее свойства. Источник вырабатывает какую-то изменяющуюся во времени функцию, которая преобразуется в изменение одного из параметров среды передачи (акустический канал – звуковые волны, проводной – электрические параметры, радиоканал – электромагнитное излучение). Эта функция и называется сигналом. Поскольку при этом передается информация, часто определяют сигнал как материальный носитель информации. Сигнал – всегда функция времени, причем, исходя из природы передачи информации, это случайная функция. Будем обозначать ее .

Для описания сигналов удобнее вначале рассмотреть некоторые частные случаи по общефилософской концепции «от простого – к сложному». В этом случае пытаются перейти от термина «сигнал» к термину «колебание», понимая под этим произвольную функцию времени. В дальнейшем мы сохраним одинаковое обозначение для сигналов и колебаний.

Существуют естественные ограничения на любой сигнал, вытекающие из физической природы источников сообщений.

1. Реальный сигнал ограничен по амплитуде и скорости нарастания:

;	(1.1)
.	(1.2)

Здесь символ обозначает квантор общности и означает, что выражения (1.1) и (1.2) справедливы для любых значений времени .

2. Мощность реального сигнала, мгновенная или интервальная , а также его энергия ограничены по величине:

;	(1.3)
;	(1.4)
.	(1.5)

3.Сигнал ограничен по времени:

.

(1.6)

Эти ограничения вполне очевидны для любого искусственного источника информации. Мгновенную и интервальную мощности можно определить следующим образом:

;	(1.7)
.	(1.8)

Один из классов колебаний – периодические, повторяющие свои значения с интервалами, кратными целому числу периодов:

.

(1.9)

Строго говоря, это – математическая абстракция, поскольку нарушаются ограничения 2 и 3. Тем не менее, для первичного анализа бывает полезно рассматривать сигналы в виде периодических функций. Кроме того, некоторые природные процессы носят периодический характер (суточные колебания температуры и освещённости, изменения потребления электроэнергии, сезонные изменения и т.д.). Для земного наблюдателя они не ограничены во времени (то есть, время их действия намного выше времени наблюдения).

При описании сигналов широко используется метод аналогий, то есть сравнения исследуемых сигналов с известными, а также сравнения различных сигналов между собой с помощью типичных колебаний. В этом смысле используются разложение колебаний в ряды по системам функций. Математически эта задача формулируется следующим образом: произвольную функцию времени нужно представить суммой некоторых базисных функций в виде:

,

(1.10)

где – постоянные величины (коэффициенты разложения).

Ряд (1.10) ограничен сверху значением из чисто практических соображений. Критерием для такого ограничения чаще всего является принцип достаточности мощности: учитываемое число членов разложения содержит достаточно большую долю полезной мощности сигнала :

,

(1.11)

где – доверительный коэффициент, близкий к единице ().

Последний член в равенстве (1.11) показывает на способ вычисления мощности исследуемого сигнала; здесь – время существования сигнала или период повторения.

Сформулируем требования к функциям разложения .

1. Базисные функции должны сравнительно просто описываться или генерироваться. Если они вычисляются, наиболее простым может быть вычисление через номер функции или по рекурсивной процедуре:

.

(1.12)

2. Желательно подобрать такие функции, чтобы ряд (1.10) как можно быстрее сходился (то есть количество в выражениях (1.10) и (1.11) было как можно меньшим).

Общая постановка задачи разложения в ряд (1.10) формулируется следующим образом [5]: по заданной базисной системе функций найти значения , обеспечивающие минимальную погрешность разложения:

.

(1.13)

Очевидно, для обеспечения минимума выражения (1.13) необходимо частные производные по приравнять к нулю и решить полученную систему уравнений, которая примет вид:

(1.14)

В общем случае система уравнений (1.14) решается достаточно сложно, поэтому ограничимся частным классом функций разложения – ортогональными функциями. Они определяются следующим соотношением:

.

(1.15)

В частности, если , функции называются ортонормальными. При таком допущении решение уравнений (1.14) получается достаточно простым:

.

(1.16)

В более общем случае функции могут быть ортогональными с весом:

где – весовая функция, приводящая базисные функции к ортогональности.

Тогда

.

(1.18)

Наиболее часто в качестве функций разложения используются тригонометрические функции. Поскольку в соответствии с (1.15) , для нормирования необходимо коэффициенты разложения домножать на . Ряд (1.10) можно представить в двух равнозначных формах [12]:

;	(1.19)
.	(1.20)

Эти формулы связаны между собой соотношениями:

; .

(1.21)

В свою очередь, коэффициенты разложения вычисляются по формулам:

;	(1.22)
; .	(1.23)

Выражения (1.20) и (1.23) образуют пару преобразований для ряда Фурье, соответственно прямое и обратное преобразования.

Совокупность амплитуд и фаз ряда Фурье формы (1.20) называется спектром колебания . Наибольший практический интерес представляет спектр амплитуд, определяющий мощность колебания:

.

(1.24)

Спектр фаз определяет форму колебания, что представляет не такой большой интерес.

Приведем пример. Получим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью (см. рис.1.2).

Рис. 1.2. Прямоугольные импульсы

Для упрощения расчетов примем начало координат посредине импульса; тогда выражение примет вид:

(1.25)

Согласно (1.23)

.

(1.26)

Упростим выражение, подставив и применив формулу Эйлера:

; .

(1.27)

Отношение называется скважностью . Тогда (1.27) преобразуется к виду:

.

(1.28)

Примем теперь , то есть . Из (1.28) следует, что гармонические составляющие с четными обращаются в 0, а нечетные имеют амплитуды . Общий вид спектра приведен на спектральной диаграмме, показанной на рис.1.3.

Рис. 1.3. Спектры амплитуд и фаз последовательности прямоугольных импульсов,

На диаграмме по горизонтали откладываются номера гармоник, по вертикали – их амплитуды. Штриховой линией на диаграмме показана так называемая огибающая спектра. Она образуется при подстановке в (1.28) непрерывно изменяющегося аргумента вместо .

На рис.1.4. приведена диаграмма спектра амплитуд при уменьшенной длительности импульсов (). Видно, что равны 0 гармоники с номерами, кратными 3, а все спектральные линии уменьшают амплитуду. Отсюда можно сделать вывод, что сокращение длительности колебания приводит к расширению его спектра.

Рис. 1.4. Спектральная диаграмма для прямоугольных импульсов,

В табл. 1.1. приведены спектры наиболее широко распространенных периодических колебаний.

Кроме широко распространенных в цифровой технике прямоугольных импульсов, в системах цифровой связи используются импульсы вида косинус-квадрат с наиболее узкой полосой. Одно из наиболее узкополосных колебаний – треугольное. Его сравнительно легко сформировать интегрированием прямоугольных импульсов, поэтому такого вида колебания можно использовать в узкополосных каналах. Колебания вида 7 и 8 хорошо иллюстрируют зависимость ширины спектра от скорости изменения: чем выше скорость (чем больше ), тем шире спектр (тем меньше убывают амплитуды при увеличении ). Здесь – функция Лапласа [11].

Все непериодические колебания называются импульсами, независимо от их формы. Применительно к импульсам пара преобразований Фурье (1.20), (1.23) видоизменяется, поскольку период такого колебания условно считается стремящимся к бесконечности. В результате вместо рассмотренных нами спектров в виде совокупности спектральных линий образуются сплошные кривые, называемые спектральными характеристиками, а ряд Фурье преобразуется в интеграл Фурье [3]:

;	(1.29)
.	(1.30)

Здесь выражение (1.29) называется прямым преобразованием Фурье, а (1.30) – обратным. Функция (спектральная характеристика) комплексная величина, которую можно рассматривать отдельно в виде амплитудной и фазовой характеристик:

.

(1.31)

Отметим вначале свойства этой функции. Она четная: . Модуль неотрицателен в любом частотном диапазоне. Наконец, она ограничена по частоте:

.

(1.32)

Справедливость последнего соотношения будет ясна из дальнейшего изложения.

В математике интеграл Фурье рассматривают как линейный оператор, переводящий колебание (функцию) из временной области в частотную на комплексную плоскость и обратно. С практической точки зрения определяют физический смысл спектральной характеристики с помощью теоремы Парсеваля [3], определяющей энергию колебания через временные и частотные характеристики:

Таблица 1.1. Спектры типовых сигналов

№	Вид колебания	График	Спектр амплитуд	Аналитическое выражение
1	Прямоугольные импульсы
2	Треугольное
3	Пилообразное
4	Однополупе-риодное выпрямление
5	Двухполупе-риодное впрямление		, – четное
6	Косинус -квадратное
7	Колокольное
8	Экспоненци-альное

Исходя из (1.33), можно вычислить мощность колебания в полосе частот:

.

(1.34)

Существует еще одно применение теоремы Парсеваля – определение практической длительности импульсов и практической верхней частоты :

; .

(1.35)

Здесь – доверительный коэффициент, как в (1.11).

Например, определим практическую длительность экспоненциального импульса . Примем . Тогда

.

(1.36)

Отсюда или .

Кроме указанной теоремы Парсеваля, существуют и другие теоремы о спектрах. Наиболее важны из них следующие:

1. Теорема линейности: спектр линейной комбинации колебаний равен линейной комбинации спектров: .

2. Теорема об изменении масштаба времени: сжатие по времени соответствует растяжению по частоте и наоборот:.

Здесь – оператор Фурье (прямое преобразование).

3. Теорема о дифференцировании: .

4. Теорема об интегрировании: .

Последние две теоремы имеют большое значение при анализе линейных цепей (линейными называются звенья, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями). Теорема линейности позволяет анализировать суперпозиции двух и более сигналов, а теорема 2 отражает наиболее фундаментальное свойство спектральных преобразований: ширина спектра пропорциональна скорости изменения сигналов.

В заключение отметим наиболее важные причины распространения спектрального анализа. Во-первых, чисто мировоззренческая причина. Любое перемещение физического тела в пространстве можно представить совокупностью двух видов движений: прямолинейного и вращения. Если в качестве одной из координат движения принять поступательное изменение времени, то проекция вращающейся точки на эту ось даст гармоническое колебание. Этим определяется сравнительная легкость представления спектрального анализа. Во-вторых, с математической точки зрения интеграл и производная от тригонометрической функции дают тоже тригонометрическую функцию, что упрощает анализ. И наконец, существует фундаментальное соотношение, связывающее спектр входного и выходного колебаний:

.

(1.37)

Здесь – спектральная характеристика колебания на входе линейного звена с частотной характеристикой , – спектр выходного колебания. Соотношение (1.37) является основой для целого раздела теории сигналов – анализа линейных звеньев в частотной области [10].

Вкратце рассмотрим некоторые другие используемые на практике разложения в ряды, отличающиеся функциями разложения.

Полиномы Чебышева были предложены русским математиком П.Л. Чебышевым как решение задачи об оптимальной аппроксимации произвольной гладкой функции на интервале [-1;1]. Общая форма записи полинома Чебышева имеет вид [15]:

,

(1.38)

где – полином Чебышева порядка .

Несмотря на то, что полученное выражение громоздко, существует простая рекуррентная формула для вычисления полинома порядка через полиномы степеней и :

,

(1.39)

причем , . Отсюда , и т.д.

Графики первых пяти полиномов на интервале [0,1] приведены на рис. 1.5. Из них видно, что полиномы четных порядков четны, а нечетных – нечетны. Количество экстремумов полинома на единицу меньше порядка . Предполагается, что вне этого интервала полиномы не определены.

Рис. 1.5. Полиномы Чебышева

Полиномы Чебышева ортогональны с весом, причем весовая функция :

.

(1.40)

Существует множество приложений использования полиномов Чебышева в задачах интерполяции и оптимизации [2.8], но непосредственное разложение функций в ряды используется редко.

Функции Бесселя 1 рода образуются как решение цилиндрических дифференциальных уравнений вида:

.

(1.41)

Решение представляется неаналитическими функциями, которые выражаются бесконечными суммами вида:

;	(1.42)
.	(1.43)

Здесь , – функции Бесселя 1 рода соответственно порядка 0 и . Общий вид функций приведен на рис. 1.6. Из графиков видно, что функции и нечетных порядков начинаются в нуле, а с увеличением порядка они имеют меньшую амплитуду и затухают быстрее. Это обстоятельство будет использовано в дальнейшем.

Рис. 1.6. Функции Бесселя 1-го рода

Функции Бесселя также ортогональны с весом :

.

(1.44)

Как функции разложения в ряды, они практически не используются из-за громоздкости вычислений по формулам (1.42), (1.43) (хотя, как можно убедиться, ряды очень быстро сходятся из-за наличия факториалов в знаменателях), зато используются как производящие при представлении функций вида (запись вида означает, что в этом месте может находиться функция или ):

	(1.45)
	(1.46)
	(1.47)
	(1.48)

Полиномы Лагерра являются частными решениями одного вида дифференциальных уравнений 2 порядка и определяются из выражения:

.

(1.48)

Отсюда ; .

Рекуррентная формула

.

(1.49)

Из (1.49) и т.д.

Полиномы Лагерра ортогональны с весом на интервале :

(1.50)

Их можно использовать как функции разложения на полубесконечном интервале.

Функции Котельникова вводятся при дискретизации непрерывных колебаний (об этом речь пойдет ниже). Они имеют вид:

.

(1.51)

Здесь – шаг по времени (обычно ). Графики функций приведены на рис.1.7. Из графиков видно, что во всех точках, кратных , (, – целое) все функции, кроме одной, обращаются в 0, а единственная ненулевая функция, для которой , имеет значение . Это позволяет утверждать, что система функций Котельникова ортогональна в таких точках, называемых узлами.

Рис. 1. 7. Функции Котельникова

Недостаток функций состоит в том, что они бесконечны в обе стороны (сравните, например, с функциями Бесселя), а это значит, что при разложении в ряд нужно знать все точки на бесконечном интервале (или при ограниченности интервала потребуется предсказывать значения ).

Функции Уолша относятся к классу дискретных и являются обобщением функций Родемахера:

,

(1.52)

где – знаковая функция.

Недостатком функций Родемахера является то, что все они четны. Известно, что линейная комбинация четных функций может дать только четные функции, следовательно, не любое колебание можно представить функциями Родемахера. Функции Уолша устраняют этот недостаток.

Существует два алгоритма реализации этих функций: Адамара () и Пэли (). Согласно первому, существует рекурсивная процедура получения матрицы порядка через матрицу порядка :

.

(1.53)

Если матрица , то . Продолжая эту процедуру, можно написать, например, матрицу в виде (оставлены только знаки):

.

(1.54)

Согласно алгоритму Пэли, матрица порядка образуется из матрицы порядка двукратным повторением каждой строки порядка , после чего к первой из полученных строк приписывается эта же строка, а ко второй – ее инверсия. Тогда матрица третьего порядка примет вид:

.

(1.55)

Нетрудно заметить, что матрица (1.54) состоит из тех же строк, что и (1.55), только они переставлены местами.

На рис 1.8 представлено семейство функций Уолша-Адамара для . Нетрудно определить способ их изображения. Для этого интервал времени, равный периоду функции , разбивают на равных участков в соответствии с матрицей вида (1.54) или (1.55) и на каждом из участков изображают уровень +1 или -1.

Рис. 1.8. Функции Уолша-Адамара для

В некоторых приложениях [12] пытаются провести аналогию с рядами Фурье, для чего матрицы ранжируют по признаку количества пересечений с графиком оси времени (количество пересечений при этом называют частостью). Например, строки матрицы (1.54) будут ранжированы в таком порядке: 0,4,6,2,3,1,5,7, предполагая при этом, что функция 0 соответствует постоянной составляющей, 4 – первой гармонике, синусной составляющей, 6 – первой гармонике, косинусной составляющей и т.д. Последние две функции нерегулярные и располагаются в конце списка. Диаграммы, построенные по такому принципу, сходны со спектром ряда Фурье и лежат в основе так называемого секвентного анализа (по аналогии со спектральным анализом).

Определим теперь свойства полученных функций. Это семейство всегда состоит из функций (соответствующая диаграмма представлена спектральными линиями) и образует замкнутую и полную систему (в данном случае замкнутость означает, что произведение двух любых функций даст третью из того же множества).

Любая функция с номером, отличным от 0, имеет нулевую постоянную составляющую, а все семейство их ортогонально.

Функции Уолша в последнее время используются очень широко в связи с развитием цифровой техники. Это связано с тем, что семейство вида (1.54) легко генерируется цифровыми элементами, а вычисление коэффициентов разложения по формуле (1.16) проходит очень быстро, так как интеграл заменяется на сумму из членов, а умножение на функцию эквивалентно изменению (сохранению) знака сомножителя.

Колебания, полученные из рядов Уолша по формуле (1.6), дают кусочно-ступенчатые функции, в которых количество «ступенек» на периоде равно , а амплитуда -той ступеньки пропорциональна производной исходного колебания в этот момент времени.

Контрольные вопросы

1) В чем сущность естественных ограничений на сигналы? Какова физическая природа ограничений?

2) Поясните элементы модели информационного канала по рис. 1.1. Как это реализуется на практике?

3) Для чего производится разложение в ряды по системам базисных функций? Поясните основные критерии разложения и приведите примеры функций разложения.

4) Какой алгоритм заложен в основу функций разложения?

5) На основе каких естественных причин в качестве базовых разложений по системам базисных функций выбрана систем тригонометрических функций (базис Фурье)?

6) Почему в основе любого метода разложения в ряды по системам функций вводится ограничение по частоте?

7) Поясните физический смысл теорем о спектрах и свяжите их с физической трактовкой сигналов.

8) В чем основной смысл теоремы Котельникова? Приведите использование теоремы на современном этапе.