
- •В.Г. Шахов основы информационных технологий
- •Введение
- •Глава 1 Теоретические основы информационных технологий
- •1.1. Теория сигналов и спектральный анализ
- •1.2. Управление колебаниями
- •1.3. Теория информации
- •1.4. Дискретизация и квантование
- •Глава 2 Сжатие информации
- •2.1. Адаптивная дискретизация, разностная и дельта-модуляция.
- •2.2. Статистическое сжатие
- •2.3 Сжатие динамического диапазона.
- •2.4. Эффективное кодирование
- •2.5. Модификации кодов Хафмана
- •2.6. Алгоритмы Лемпеля – Зива
- •2.7. Сжатие графических изображений
- •2.8. Видеостандарт mpeg
- •Глава 3 Многоканальная передача и уплотнение линий связи
- •3.1. Сравнение и анализ основных методов разделения каналов
- •3.3. Адресное разделение каналов
- •3.4. Разделение каналов на основе псевдослучайных последовательностей
- •3.5. Комбинированное разделение каналов
- •Глава 4 Случайные процессы и их приложения
- •4.1. Основы теории случайных событий и величин
- •4.2 Основы теории случайных процессов
- •Глава 5 Основы цифровой обработки сигналов
- •5.1. Дискретные экспоненциальные функции (дэф)
- •5.2. Быстрое преобразование Фурье (бпф)
- •5.3. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов
- •5.5. Основы цифровой фильтрации
- •Глава 6 Борьба с помехами
- •6.1. Энергетические методы
- •6.2. Методы импульсной модуляции гармонической несущей
- •6.2. Простейшие методы приема импульсных сигналов
- •6.3. Помехоустойчивый прием модулированных колебаний при импульсной огибающей
- •6.3.1 Некогерентный ам-прием
- •6.3.2 Когерентный чм-прием
- •.3.3 Когерентный фм-прием.
- •6.4.Корректирующие коды.
- •6.4.1. Основные определения корректирующих кодов.
- •6.4.2. Алгебраические коды
- •6.4.3. Матричная запись линейных корректирующих кодов
- •6.4.4. Коды Рида - Маллера I рода
- •6.4.5. Полиномиальные коды
- •6.4.6. Итеративные коды
- •6.5. Непрерывные коды
- •6.5.1. Рекуррентные коды
- •6.5.2 Сверточное кодирование
- •6.5.3. Каскадные коды
- •6.5.4. Нелинейные коды
- •6.6. Системы с обратными связями
- •6.7. Комплексные решения помехоустойчивого приема.
- •Глава 7 Пример расчета параметров информационной системы
- •7.1. Основные сведения о системах телеизмерения
- •7.2. Содержание курсовой работы и исходные данные
- •7.3. Определение полосы занимаемых частот и построение спектральной диаграммы
- •7.3.1 Определение периода опроса
- •7.3.2. Определение верхней частоты спектра импульсной последовательности
- •7.3.3. Варианты модуляции
- •7.3.4. Выбор несущих и построение спектральной диаграммы
- •7.4. Определение максимального уровня помех в канале связи
- •7.4.1. Помехоустойчивость передачи импульсно-модулированных сигналов
- •7.4.2. Помехоустойчивость передачи кодовых посылок
- •7.5. Определение количества информации одного сообщения и скорости передачи информации.
- •7.6. Вычисление эффективности передачи
- •Заключение по курсовой работе
- •Общее заключение по учебному пособию
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Глава 7 278
5.3. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов
Это одно из направлений цифровой обработки, основанное на высшей алгебре. В основе теории чисел существует специфическая терминология (кольцо, моноид, полугруппа, группа, поле, векторное пространство) и своеобразная алгебра, основанная на системе аксиом, формулируемых на каждый из объектов.
Основное
понятие в данном направлении – поле
Галуа. Эварист Галуа – гениальный
французский математик XIX века,
сформулировавший основы теории полей,
которые сейчас носят название полей
Галуа
.
Сформулируем понятие поля Галуа. Поле
Галуа относительно выбранного
целочисленного модуля
определяется следующими аксиомами.
1.
Полнота: существует ровно
элементов, которые могут рассматриваться
как база дальнейших преобразований.
Существует
конечная группа преобразований,
относительно которой формируется
алгебра. В дальнейшем будем рассматривать
единственную функцию, которая может
претендовать на новую алгебру, а именно
сложение по модулю
.
В ходе алгебраической процедуры возможна
единственная процедура, сложение по
модулю
,
что означает следующее:
,
где
считается остатком от операции
.
Например,
,
тогда
.
Ранее
мы уже оговаривали: результат должен
входить в пространство целых чисел от
0 до
.
Аналогичная
задача была описана относительно
умножения целочисленных переменных
при создании приведенных функций ДЭФ
относительно модуля
,
но только при вычислении окончательных
результатов делается приведение
относительно модуля
.
Такие действия называются также
арифметикой в остатках, а сама арифметика
опирается на два действия: сложение по
модулю
,
описанное ранее, и умножение по модулю
,
в принципе эквивалентное приведению
по модулю.
На
практике для достижения результатов
любого алгоритма необходимо и достаточно,
чтобы область допустимых остатков имела
такое их множество, чтобы перекрыть
желаемую область с заданным результатом.
Приведем пример из метрологии: для
достижения заданной точности измерений
необходимо, чтобы код результата содержал
такое количество разрядов, которое при
кодировании перекрывает допустимую
погрешность. Например, используется
при количественной оценке 8-разрядной
код. Так как количество различных
комбинаций этого кода
,
то асимптотическая погрешность составит
.
В данном примере не учитываются
погрешности округления при вычислениях,
накапливающиеся ошибки при нескольких
вычислительных операциях и т.д. Вследствие
этого существует объективное ограничение
модулярной арифметики (арифметики в
остатках):
|
(5.22) |
где
– разрядность двоичного кода остатка,
–допустимая погрешность.
Фактически
выбирается с запасом для снижения
вычислительных погрешностей.
2.
Замкнутость: независимо от
используемого вычислительного алгоритма
результат находится в пределах заявленного
множества значений. Если разрядность
двоичного кода остатка равна
,
то результат оценивается с точностью:
|
(5.23) |
Для повышения точности существует единственный способ – повышение разрядности.
В теоретико-числовых преобразованиях (ТЧП) есть серьезное преимущество: точность вычислений не зависит от количества вычислительных операций. Это связано с тем, что при целочисленном представлении отсутствуют погрешности округления, которые в обычной арифметике накапливаются. Но в данном случае увеличивается количество разрядов.
В теории чисел операции над целыми числами принято оформлять двойными скобками (введено Л. Эйлером). Например,
|
(5.24) |
означает,
что произведена операция над двумя
целыми числами,
и
,
а результат существует в виде остатка
по модулю
.
В
теории чисел важное значение имеет
выбор модуля преобразования
.
Это главная проблема ТЧП. Во-первых,
модуль должен быть достаточно большим,
иначе нарушается правило (5.22). Во-вторых,
он должен быть вычисляемым, чтобы можно
было его повысить в случае необходимости.
В качестве основы ТЧП наиболее популярными считаются модули, основанные на числах Ферма и Мерсенна. В ХVI веке католический монах Энрике Ферма вывел малую и большую теоремы Ферма. Малая теорема была доказана в ХIХ веке, большая – в конце ХХ века. Также Ферма раскрыл древнегреческую шараду из области теории чисел. Шарада состоит в том, как найти формальное правило вычисления простых чисел. Он предложил алгоритм, записывающийся в виде:
|
(5.27) |
где
– целое число.
Оказалось,
что до
(т. е.
)
это правило работает, далее числа
получаются составными, т. е. разлагаются
на сомножители. Что характерно, в
дальнейшем числа с «довеском», т. е. +1,
и с «недовложением» –1, образуют два
различных класса преобразования.