- •В.В. Давнис, в.И. Тинякова эконометрические методы прогнозирования
- •1. Теоретические основы прогнозирования
- •1.1. Сущность экономического прогнозирования
- •1.2. Типология прогнозов
- •1.3. Этапы прогнозирования
- •2. Экстраполяция временных рядов
- •2.1. Сущность экстраполяции
- •2.2. Типы роста и трендовые модели
- •2.3. Метод наименьших квадратов (мнк)
- •В общем случае поиск оптимальных параметров сводится к решению нелинейной экстремальной задачи. Обычно рассматривают линейный случай
- •Решая линейную систему (2.26) с помощью замены
- •2.4. Адекватность. Критерий Дарбина – Уотсона
- •2.5. Критерии точности прогнозных расчетов
- •3. Регрессионный анализ и прогноз
- •3.1. Множественная регрессия
- •3.1.1. Основные понятия регрессионного анализа
- •3.1.2. Общий вид модели множественной регрессии
- •3.1.3. Метод наименьших квадратов в матричной форме
- •3.1.4. Парная регрессия как частный случай множественной
- •3.1.5. Мультиколлинеарность факторов
- •3.1.6. Особенности применение регрессионных моделей в прогнозных расчетах
- •3.2. Обобщенный регрессионный анализ
- •3.2.1. Обобщенная схема мнк
- •Здесь использован тот факт, что
- •3.2.2. Метод взвешенных наименьших квадратов
- •3.2.3. Корректировка стандартных ошибок
- •3.2.4. Тесты на гетероскедастичность
- •3.3. Регрессионные модели с автокоррелированными остатками
- •3.3.1.Общая схема мнк в случае автокорреляции первого порядка
- •3.3.2. Методы тестирования на автокорреляцию
- •3.3.3. Методы оценивания параметра
- •3.3.4. Прогнозные расчеты при автокоррелированных остатках
- •3.4. Регрессионные модели с лаговыми переменными
- •3.4.1. Общий вид моделей с лагами в независимых переменных
- •4. Авторегрессионные процессы и их модели
- •4.1. Стационарность
- •4.2. Модель авторегрессии
- •4.3. Понятие интеграции
- •4.4. Модели скользящей средней
- •4.5. Авторегрессионные модели скользящей средней
- •4.6. Авторегрессионные интегрированные модели скользящей средней
- •4.7. Коэффициент автокорреляции и проверка его значимости
- •4.8. Определение порядка моделей arma
- •4.9. Построение моделей arima
- •4.10. Проверка адекватности моделей arma
- •4.11. Оценка точности прогнозных расчетов по моделям arima
- •5. Адаптивные модели прогнозирования
- •5.1. Специфика адаптивного моделирования
- •5.2. Полиномиальные модели
- •5.3. Рекуррентный метод наименьших квадратов
- •5.4. Многофакторные адаптивные модели
- •5.5. Адаптивные многошаговые модели
- •5.6. Выбор начальных значений и
- •6. Прогнозирование сезонных колебаний
- •6.1. Моделирование периодических колебаний
- •Эта запись получена с использованием тригонометрического тождества
- •6.2. Аддитивная и мультипликативная модели
- •6.3. Моделирование сезонных колебаний
- •6.4. Адаптивные модели сезонных явлений
6. Прогнозирование сезонных колебаний
6.1. Моделирование периодических колебаний
Пусть значения временного ряда колеблются около среднего значения . Изобразим траекторию этого ряда в виде графика, представленного на рис. 8.1. Данная траектория вряд ли может являться реализацией реального процесса, но рисунок хорошо иллюстрирует вводимые ниже определения.
Периодом называется интервал времени, необходимый для того, чтобы значения временного ряда начали повторяться. Его обычно обозначают Р. Временной ряд, траектория которого изображена на рис. 6.1, имеет период Р=10.
Период измеряется числом единиц времени за цикл. Если временной ряд имеет период Р, то и 2Р, и 3Р, и т.д. также являются его периодом. В общем случае ряд считается периодическим, если выполняется равенство
, где
Частотой называется величина, обратная периоду. Ее обозначают и она равна . Частота указывает число повторений цикла в единицу времени. В рассматриваемом случае . Очевидно, что терминами «период» и «частота» можно пользоваться как взаимозаменяемыми.
0 2 7 12
Рис. 6.1. График периодической функции
В частном случае временной ряд из констант () можно считать периодическим с частотой .
Амплитудой периодического ряда называется отклонение от среднего значения временного ряда до пика или впадины. Амплитуду принято обозначать через .
Фазой называется расстояние между началом отсчета времени и ближайшим пиковым значением и обозначается .
Периодически временные ряды могут флуктуировать возле возрастающего или убывающего среднего.
В экономике также встречаются временные ряды с возрастающей или убывающей амплитудой.
Если временной ряд не имеет тренда среднего значения и дисперсия постоянна (т.е. среднее и дисперсия не зависят от времени), то такие временные ряды называют стационарными.
Если при анализе временного ряда возникает ситуация, когда тренд нужно исключить, то это легко сделать, построив регрессию по МНК и перейдя к остаткам . Альтернативный подход, позволяющий исключить тренд, предусматривает переход к разности . В общем случае стационарный временной ряд можно задать, используя четыре выше введенных параметра
. (6.1)
Такая форма представления временного ряда называется гармоническим представлением.
Для временного ряда, траектория которого изображена на рис. 6.1, если , то , так как .
Периодические функции удобно выражать через угловую частоту , задаваемую радианами в единицу времени
, .
Если использовать угловую частоту, то модель временного ряда можно записать в виде
, (6.2)
где является фазой.
Последнее уравнение часто записывают через тригонометрические функции в виде
, (6.3)
где , .