4.4. Модели скользящей средней

Кроме авторегрессионных, при моделировании временных рядов используются модели скользящей средней. Сразу заметим, что рассматриваемые здесь модели не имеют ничего общего со схожим термином, относящимся к технике сглаживания данных.

Модель скользящей средней – это модель, в которой моделируемый показатель задается линейной функцией от прошлых ошибок, т.е. разностей между прошлыми фактическими наблюдениями и прошлыми смоделированными (рассчитанными по модели) значениями. Модель скользящей средней записывается в виде

, (4.6)

где

. (4.7)

Как правило, модели скользящей средней самостоятельно не используются, но между ними и моделями авторегрессии есть взаимосвязь, их совместное применение обеспечивает более компактное представление рассматриваемых здесь моделей.

4.5. Авторегрессионные модели скользящей средней

Для временных рядов разработаны модели, в которых комбинируется авторегрессионное представление временного ряда с моделью скользящей средней. Эти модели принято называть авторегрессионными моделями скользящей средней и обозначать ARMA(p, q), где p – количество запаздывающих переменных в авторегрессионном процессе, а q – количество переменных в модели скользящей средней. Например, модель ARMA(3, 2) может быть записана следующим образом:

, (4.8)

где – ненаблюдаемая ошибка в данном уравнении.

4.6. Авторегрессионные интегрированные модели скользящей средней

Авторегрессионные интегрированные модели скользящей средней (ARIMA) отличаются от моделей ARMA тем, что перед их построением определяется порядок разности между уровнями временного ряда для получения в случае необходимости стационарного ряда. Процесс, порождаемый моделями ARIMA, характеризуется тремя параметрами: p – порядок авторегрессии; d – порядок предварительно определяемых разностей; q – порядок скользящей средней в модели. Таким образом, ARIMA, включая в себя описания процессов авторегрессии, скользящего среднего и интегрирования, является обобщением, позволяющим многие динамические процессы рассматривать как процессы ARIMA.

При построении моделей ARIMA очень важно в моделируемом временном ряде выделить эти три составляющие для того, чтобы определить структуру моделируемого процесса. С этой целью построение модели осуществляют в несколько этапов. На первом этапе ведется расчет разностей для получения стационарного ряда. Затем для полученного стационарного ряда пытаются построить модель ARMA. Фактически выделение этих составляющих позволяет разбить все динамические ряды на классы со специфическими свойствами.

Например, рассмотрим абсолютно случайный процесс, в котором зависит только от среднего уровня ряда и ошибки, т.е.

, (4.9)

где (independent identically distributed) независимые, одинаково распределенные с нулевым средним и дисперсией ошибки.

В этом процессе не наблюдается зависимость от прошлых значений , в нем не фигурируют разности , и нет зависимости от ошибок в прошлых периодах. Поэтому этот процесс классифицируется как процесс ARIMA (0, 0, 0).

Если процесс состоит только из авторегрессионной составляющей, то его модель может быть записана следующим образом:

, , (4.10)

где и – случайная составляющая.

Рассматриваемый процесс фактически является AR(1) процессом и классифицируется как процесс ARIMA(1, 0, 0).

В случае, когда , процесс не является стационарным и только с помощью вычисления разностей может быть полностью трансформирован в стационарный. Модель такого процесса представима в виде

, , (4.11)

а сам процесс классифицируется как ARIMA(0, 1, 0).

Если единственной составляющей процесса является скользящая средняя, то мы имеем дело с процессом ARIMA(0, 0, 1), модель которого отражает зависимость от значений ошибки и записывается в виде:

, . (4.12)

В случае, когда процесс комбинируется из авторегрессионной составляющей и скользящей средней, его модель записывается следующим образом:

, (4.13)

и классифицируется как ARIMA(1, 0, 1).