- •В.В. Давнис, в.И. Тинякова эконометрические методы прогнозирования
- •1. Теоретические основы прогнозирования
- •1.1. Сущность экономического прогнозирования
- •1.2. Типология прогнозов
- •1.3. Этапы прогнозирования
- •2. Экстраполяция временных рядов
- •2.1. Сущность экстраполяции
- •2.2. Типы роста и трендовые модели
- •2.3. Метод наименьших квадратов (мнк)
- •В общем случае поиск оптимальных параметров сводится к решению нелинейной экстремальной задачи. Обычно рассматривают линейный случай
- •Решая линейную систему (2.26) с помощью замены
- •2.4. Адекватность. Критерий Дарбина – Уотсона
- •2.5. Критерии точности прогнозных расчетов
- •3. Регрессионный анализ и прогноз
- •3.1. Множественная регрессия
- •3.1.1. Основные понятия регрессионного анализа
- •3.1.2. Общий вид модели множественной регрессии
- •3.1.3. Метод наименьших квадратов в матричной форме
- •3.1.4. Парная регрессия как частный случай множественной
- •3.1.5. Мультиколлинеарность факторов
- •3.1.6. Особенности применение регрессионных моделей в прогнозных расчетах
- •3.2. Обобщенный регрессионный анализ
- •3.2.1. Обобщенная схема мнк
- •Здесь использован тот факт, что
- •3.2.2. Метод взвешенных наименьших квадратов
- •3.2.3. Корректировка стандартных ошибок
- •3.2.4. Тесты на гетероскедастичность
- •3.3. Регрессионные модели с автокоррелированными остатками
- •3.3.1.Общая схема мнк в случае автокорреляции первого порядка
- •3.3.2. Методы тестирования на автокорреляцию
- •3.3.3. Методы оценивания параметра
- •3.3.4. Прогнозные расчеты при автокоррелированных остатках
- •3.4. Регрессионные модели с лаговыми переменными
- •3.4.1. Общий вид моделей с лагами в независимых переменных
- •4. Авторегрессионные процессы и их модели
- •4.1. Стационарность
- •4.2. Модель авторегрессии
- •4.3. Понятие интеграции
- •4.4. Модели скользящей средней
- •4.5. Авторегрессионные модели скользящей средней
- •4.6. Авторегрессионные интегрированные модели скользящей средней
- •4.7. Коэффициент автокорреляции и проверка его значимости
- •4.8. Определение порядка моделей arma
- •4.9. Построение моделей arima
- •4.10. Проверка адекватности моделей arma
- •4.11. Оценка точности прогнозных расчетов по моделям arima
- •5. Адаптивные модели прогнозирования
- •5.1. Специфика адаптивного моделирования
- •5.2. Полиномиальные модели
- •5.3. Рекуррентный метод наименьших квадратов
- •5.4. Многофакторные адаптивные модели
- •5.5. Адаптивные многошаговые модели
- •5.6. Выбор начальных значений и
- •6. Прогнозирование сезонных колебаний
- •6.1. Моделирование периодических колебаний
- •Эта запись получена с использованием тригонометрического тождества
- •6.2. Аддитивная и мультипликативная модели
- •6.3. Моделирование сезонных колебаний
- •6.4. Адаптивные модели сезонных явлений
4.9. Построение моделей arima
Построение моделей ARIMA осуществляется в несколько этапов.
1. На первом этапе проводится идентификация модели. Для этого ряд тестируется на стационарность с целью определения степени его интеграции. Для тестирования используется критерий Дики – Фуллера (DF), с помощью которого определяется, равно ли значение коэффициента единице или оно меньше единицы в модели без свободного члена
. (4.41)
Если равно единицы, то данные имеют единичный корень и степень его интеграции равно единице, т.е. степень интеграции равна единице, и мы имеем дело с рядом I(1). Если же меньше единицы, то ряд стационарен, т.е. I(0). Суть критерия сводится к проверке нулевой гипотезы
,
значительно меньше нуля. (4.42)
Нулевая гипотеза отвергается, если статистика меньше критического значения из таблиц Дики и Фуллера, которое для 1%-го уровня значимости равно -2,58 (для 5%-го уровня значимости равно -1,95). Используемый в этом критерии параметр , а – стандартная ошибка , а само определяется как параметр уравнения
. (4.43)
Проверка на стационарность похожа на использование традиционного t-критерия, однако применение t-критерия слишком часто отвергает нулевую гипотезу в ситуациях, когда она справедлива. Кроме того, проверка стационарности осложняется в тех случаях, когда существует автокорреляция остатков. Проблема автокорреляции остатков решается применением расширенного критерия Дики – Фуллера (EDF), в котором критическое значение, с которым сравнивается , определяется по формуле, учитывающей размер выборки
. (4.44)
Значения составляющих (4.44) в зависимости от уровня значимости следующие:
или ;
или ;
или .
Если нулевая гипотеза проверяется для модели со свободным членом
, (4.45)
то строится уравнение
(4.46)
и расчетное значение сравнивается с критическим значением EDF, рассчитываемым при
или ;
или ;
или .
В тех случаях, когда модель содержит и свободный член, и тренд
, (4.47)
то коэффициент определяется по уравнению
, (4.48)
а критическое значение для проверки нулевой гипотезы рассчитывается при
или ;
или ;
или .
Если в результате проверки на единичный корень нулевая гипотеза (ряд нестационарный) принимается в качестве рабочей, то применяют операцию взятия разности и повторяют тестирование.
2. После того, как получено подтверждение о стационарности исходного временного ряда или его разностного представления, для стационарного ряда строят выборочные автокорреляционные и частные автокорреляционные функции, с помощью которых формулируются гипотезы о возможных порядках авторегрессии (р) и скользящего среднего (q).
Для каждой из выбранных в соответствии с выдвинутыми гипотезами моделей оцениваются параметры и вычисляются остатки. Затем все построенные модели проверяются на адекватность и из моделей, адекватных данным, выбирается самая простая, т.е. та, которая имеет наименьшее количество параметров.
3. Методы для оценивания параметров выбираются в зависимости от сложности модели. Если в модели присутствует только авторегрессионная часть, то ее параметры можно оценивать с помощью МНК. Если же оцениваются параметры комбинированной модели, то возникают различные ситуации. Например, для модели ARMA (1, 1)
, , (4.49)
которую можно представить, используя оператор сдвига () в виде
, (4.50)
, (4.51)
, (4.52)
где и .
Одним из возможных подходов к построению моделей ARMA (1, 1) заключается в следующем: приравниваются нулю все значения, предшествующие началу наблюдений, т.е. . Тогда замена переменных
, , . . . , (4.53)
позволяет записать рассматриваемую модель в виде
, . (4.54)
В том случае, когда известно, параметры этой модели можно оценивать с помощью метода наименьших квадратов. В общем случае модель нелинейна по параметрам и для их оценки используется условный метод максимального правдоподобия или полный метод максимального правдоподобия. Оба метода фактически сводятся к решению нелинейных систем уравнений.
Эффективным приемом построения подобных моделей для прогнозных целей является подход, основанный на подборе параметра , обеспечивающего минимальную ошибку постпрогнозных расчетов. Этот подход является составной частью построения адаптивных моделей прогнозирования и, поэтому будет подробно рассмотрен в главе, которая посвящена адаптивным методам.