- •В.В. Давнис, в.И. Тинякова эконометрические методы прогнозирования
- •1. Теоретические основы прогнозирования
- •1.1. Сущность экономического прогнозирования
- •1.2. Типология прогнозов
- •1.3. Этапы прогнозирования
- •2. Экстраполяция временных рядов
- •2.1. Сущность экстраполяции
- •2.2. Типы роста и трендовые модели
- •2.3. Метод наименьших квадратов (мнк)
- •В общем случае поиск оптимальных параметров сводится к решению нелинейной экстремальной задачи. Обычно рассматривают линейный случай
- •Решая линейную систему (2.26) с помощью замены
- •2.4. Адекватность. Критерий Дарбина – Уотсона
- •2.5. Критерии точности прогнозных расчетов
- •3. Регрессионный анализ и прогноз
- •3.1. Множественная регрессия
- •3.1.1. Основные понятия регрессионного анализа
- •3.1.2. Общий вид модели множественной регрессии
- •3.1.3. Метод наименьших квадратов в матричной форме
- •3.1.4. Парная регрессия как частный случай множественной
- •3.1.5. Мультиколлинеарность факторов
- •3.1.6. Особенности применение регрессионных моделей в прогнозных расчетах
- •3.2. Обобщенный регрессионный анализ
- •3.2.1. Обобщенная схема мнк
- •Здесь использован тот факт, что
- •3.2.2. Метод взвешенных наименьших квадратов
- •3.2.3. Корректировка стандартных ошибок
- •3.2.4. Тесты на гетероскедастичность
- •3.3. Регрессионные модели с автокоррелированными остатками
- •3.3.1.Общая схема мнк в случае автокорреляции первого порядка
- •3.3.2. Методы тестирования на автокорреляцию
- •3.3.3. Методы оценивания параметра
- •3.3.4. Прогнозные расчеты при автокоррелированных остатках
- •3.4. Регрессионные модели с лаговыми переменными
- •3.4.1. Общий вид моделей с лагами в независимых переменных
- •4. Авторегрессионные процессы и их модели
- •4.1. Стационарность
- •4.2. Модель авторегрессии
- •4.3. Понятие интеграции
- •4.4. Модели скользящей средней
- •4.5. Авторегрессионные модели скользящей средней
- •4.6. Авторегрессионные интегрированные модели скользящей средней
- •4.7. Коэффициент автокорреляции и проверка его значимости
- •4.8. Определение порядка моделей arma
- •4.9. Построение моделей arima
- •4.10. Проверка адекватности моделей arma
- •4.11. Оценка точности прогнозных расчетов по моделям arima
- •5. Адаптивные модели прогнозирования
- •5.1. Специфика адаптивного моделирования
- •5.2. Полиномиальные модели
- •5.3. Рекуррентный метод наименьших квадратов
- •5.4. Многофакторные адаптивные модели
- •5.5. Адаптивные многошаговые модели
- •5.6. Выбор начальных значений и
- •6. Прогнозирование сезонных колебаний
- •6.1. Моделирование периодических колебаний
- •Эта запись получена с использованием тригонометрического тождества
- •6.2. Аддитивная и мультипликативная модели
- •6.3. Моделирование сезонных колебаний
- •6.4. Адаптивные модели сезонных явлений
3.3. Регрессионные модели с автокоррелированными остатками
3.3.1.Общая схема мнк в случае автокорреляции первого порядка
Чаще других при построении прогнозных моделей регрессии используются данные, представляющие собой временные ряды. В случае временных рядов нарушение условия 3b) состоит в том, что случайные остатки коррелируют между собой и, следовательно, матрица становится недиагональной. Поэтому рассмотренный выше метод взвешенных наименьших квадратов к данной ситуации не применим, т.е. возникает необходимость в применении другого варианта обобщенной схемы МНК, отличного от случая гетероскедастичности. Начнем с рассмотрения простейшего случая, когда зависимость между остатками , выражается автокорреляцией первого порядка, т.е.
, (3.92)
где , а – случайная величина, удовлетворяющая условиям классической регрессии
, . (3.93)
Кроме того, будем считать, что соотношение (3.92) справедливо для любого t ().
Учитывая свойства случайной составляющей , описываемые соотношениями (4.93), вычислим основные ее числовые характеристики и . Для этого представим случайную величину в виде бесконечного ряда
. (3.94)
Используя полученное представление и свойство (3.93), получаем
, (3.95)
. (3.96)
При вычислении дисперсии было учтено, что между собой независимы и поэтому математические ожидания произведений при равны 0.
Чтобы вычислить ковариационную матрицу, вычислим произведение при произвольном . Для этого предварительно первый сомножитель представим в виде двух слагаемых.
. (3.97)
Произведение первого слагаемого и второго сомножителя равно 0 в силу того, что , т.е.
. (3.98)
Таким образом, если снова учесть, что независимы, то ковариация между и будет равна
, (3.99)
где дисперсия определяется соотношением (3.96).
Мы получили представление о структуре ковариационной матрицы случайной составляющей модели с автокоррелированными остатками. Выражение (3.96) задает ее диагональные элементы, а (3.98) – внедиагональные элементы ковариационной матрицы.
Обобщая проведенные исследования, можно записать условия, в которых строится регрессионная модель с автокоррелированными остатками:
-
Спецификация .
-
– детерминированная матрица с рангом .
3а. . 3b. .
Для удобства изложения материала введем обозначение
. (3.100)
Матрица симметрична и положительно определена (, -произвольный ненулевой вектор). Так как по определению коэффициент корреляции между остатками равен
, (3.101)
то можно сделать вывод о том, что в линейной модели с автокоррелированными остатками в такой математической форме реализована идея ослабления корреляционной связи между регрессионными остатками по мере их взаимного удаления во времени.
Так как в дальнейшем потребуется , то приведем ее общий вид
. (3.102)
Зная обратную матрицу (3.102), можно записать, используя схему обобщенного МНК, формулу для вычисления оптимальных оценок в классе несмещенных в следующем виде:
. (3.103)
Так как по условию симметрична и положительно определена, то и также симметрична и положительно определена. Следовательно, ее можно представить как
, (3.104)
где – диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят собственные значения матрицы , а – ортогональная матрица, столбцы которой представляют собой собственные вектора , т.е. .
Поскольку положительно определенная матрица, ее собственные числа положительные и, следовательно, можно определить дробную степень в виде
, (3.105)
где – диагональная матрица с элементами по главной диагонали.
Введение дробной степени позволяет представить матрицу в виде произведения двух матриц
. (3.106)
Такое представление позволяет записать формулу обобщенного МНК в виде:
, (3.107)
где , .
Для рассматриваемого случая матрица может быть записана следующим образом:
. (3.108)
Преобразование данных с помощью этой матрицы приводит к следующим результатам:
; (3.109)
. (3.110)
Таким образом, если известно, что между остатками наблюдается автокорреляция и известен параметр , то после преобразования данных в соответствии с (3.109), (3.110) для оценки параметров регрессии можно применить обычный МНК, который, по сути, является частным случаем обобщенной схемы МНК.
Следовательно, чтобы принять решение о методе построения регрессионного уравнения по данным временных рядов, необходимо сначала установить наличие автокорреляции в остатках, а затем получить оценку параметра .