- •В.В. Давнис, в.И. Тинякова эконометрические методы прогнозирования
- •1. Теоретические основы прогнозирования
- •1.1. Сущность экономического прогнозирования
- •1.2. Типология прогнозов
- •1.3. Этапы прогнозирования
- •2. Экстраполяция временных рядов
- •2.1. Сущность экстраполяции
- •2.2. Типы роста и трендовые модели
- •2.3. Метод наименьших квадратов (мнк)
- •В общем случае поиск оптимальных параметров сводится к решению нелинейной экстремальной задачи. Обычно рассматривают линейный случай
- •Решая линейную систему (2.26) с помощью замены
- •2.4. Адекватность. Критерий Дарбина – Уотсона
- •2.5. Критерии точности прогнозных расчетов
- •3. Регрессионный анализ и прогноз
- •3.1. Множественная регрессия
- •3.1.1. Основные понятия регрессионного анализа
- •3.1.2. Общий вид модели множественной регрессии
- •3.1.3. Метод наименьших квадратов в матричной форме
- •3.1.4. Парная регрессия как частный случай множественной
- •3.1.5. Мультиколлинеарность факторов
- •3.1.6. Особенности применение регрессионных моделей в прогнозных расчетах
- •3.2. Обобщенный регрессионный анализ
- •3.2.1. Обобщенная схема мнк
- •Здесь использован тот факт, что
- •3.2.2. Метод взвешенных наименьших квадратов
- •3.2.3. Корректировка стандартных ошибок
- •3.2.4. Тесты на гетероскедастичность
- •3.3. Регрессионные модели с автокоррелированными остатками
- •3.3.1.Общая схема мнк в случае автокорреляции первого порядка
- •3.3.2. Методы тестирования на автокорреляцию
- •3.3.3. Методы оценивания параметра
- •3.3.4. Прогнозные расчеты при автокоррелированных остатках
- •3.4. Регрессионные модели с лаговыми переменными
- •3.4.1. Общий вид моделей с лагами в независимых переменных
- •4. Авторегрессионные процессы и их модели
- •4.1. Стационарность
- •4.2. Модель авторегрессии
- •4.3. Понятие интеграции
- •4.4. Модели скользящей средней
- •4.5. Авторегрессионные модели скользящей средней
- •4.6. Авторегрессионные интегрированные модели скользящей средней
- •4.7. Коэффициент автокорреляции и проверка его значимости
- •4.8. Определение порядка моделей arma
- •4.9. Построение моделей arima
- •4.10. Проверка адекватности моделей arma
- •4.11. Оценка точности прогнозных расчетов по моделям arima
- •5. Адаптивные модели прогнозирования
- •5.1. Специфика адаптивного моделирования
- •5.2. Полиномиальные модели
- •5.3. Рекуррентный метод наименьших квадратов
- •5.4. Многофакторные адаптивные модели
- •5.5. Адаптивные многошаговые модели
- •5.6. Выбор начальных значений и
- •6. Прогнозирование сезонных колебаний
- •6.1. Моделирование периодических колебаний
- •Эта запись получена с использованием тригонометрического тождества
- •6.2. Аддитивная и мультипликативная модели
- •6.3. Моделирование сезонных колебаний
- •6.4. Адаптивные модели сезонных явлений
3.3.2. Методы тестирования на автокорреляцию
Существует несколько подходов к тестированию регрессионных остатков на автокорреляцию. Во многих статистических пакетах решение задач по построению регрессии дополняется графическим представлением результатов моделирования. В том числе предоставляется возможность визуализации поведения отклонений во времени. Как правило, строятся либо последовательно-временные графики, либо графики зависимости от .
В первом случае по оси абсцисс откладывается либо время, в которое было получено статистическое наблюдение, либо номер наблюдения, а по оси ординат – отклонение , величина которого становится известной после построения уравнения регрессии.
Рис. 3.1. Зависимость остатков от времени
Анализ графиков, представленных на рис. 3.1, показывает, что в случае а) и б) изменение остатков подчиняется некоторой закономерности и можно предположить, что они автокоррелированы. Случай в) свидетельствует об отсутствии какой-либо зависимости, и предположение о возможной автокоррелированности несостоятельно.
Во втором случае по оси абсцисс откладывается , а по оси ординат – . Тогда, если график будет иметь вид, представленный на рис. 3.2, то есть все основания считать, что остатки автокоррелированы. Причем, так как большинство точек на этом графике расположены в первой и третьей четвертях декартовой системы координат, то можно с уверенностью говорить о положительной зависимости в среднем между соседними отклонениями.
К сожалению, графики остатков не всегда выглядят так убедительно, как на приведенных рисунках. Поэтому, кроме графических, применяются и аналитические методы тестирования на автокорреляцию остатков.
Рис. 3.2. Авторегрессионная зависимость остатков
Метод рядов. Этот метод состоит в следующем. После построения уравнения регрессии последовательно определяются знаки отклонений , например,
(+ + + +) (- - - - - - - -) (+ + + + +) ( - - -) (+ + + +) (-),
т.е. 4 «+», 8 «-», 5 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» получено при построении модели по выборке из 25 наблюдений.
Будем называть рядом непрерывную последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду принято называть длиной ряда.
Интуитивно понятно, что если есть ряды, то, скорее всего, между остатками есть зависимость. Причем, если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений, то вполне вероятна положительная автокорреляция, если же рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция. Для более обоснованного вывода предлагается следующая процедура.
Введем обозначения:
– объем выборки;
– общее количество знаков «+» при наблюдениях (количество положительных отклонений );
– общее количество знаков « – » при наблюдениях (количество отрицательных отклонений );
– количество рядов.
При достаточно большом количестве наблюдений (>10, >10) и отсутствии автокорреляции доказано, что случайная величина имеет асимптотически нормальное распределение с
; . (3.111)
Тогда, если окажется, что удовлетворяет неравенству
, (3.112)
то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется (– -квантиль стандартного нормального распределения). В противном случае – в остатках наблюдается автокорреляция.
Критерий Дарбина – Уотсона. Этот критерий по сравнению с другими используется гораздо чаще. В его основу положена простая идея, в соответствии с которой, если корреляция случайной составляющей регрессии не равна 0, то она должна присутствовать и в остатках регрессии , получающихся в результате обычного МНК. В тесте Дарбина – Уотсона для оценки автокорреляции используется статистика
. (3.113)
Подробности применения этого критерия были рассмотрены в предыдущей главе. Корректное использование статистики возможно при выполнении следующих условий:
-
модель, для которой возникает необходимость применения этого критерия, должна содержать свободный член;
-
предполагается, что случайная составляющая модели определяется в соответствии с авторегрессионной схемой первого порядка;
-
наблюдения, используемые для построения модели, имеют одинаковую периодичность, т.е. в них нет пропусков;
-
критерий нельзя применять, если в регрессионной модели в число объясняющих переменных входит зависимая переменная с лагом в один период. Такое ограничение связано с тем, что распределение статистики зависит не только от числа наблюдений, но и от значений самих регрессоров. А это означает, что тест перестает играть роль критерия в том смысле, что нельзя указать критическую область, которая позволяла бы принимать решение об отсутствии автокорреляции в тех случаях, когда в эту область попадают наблюдаемые значения статистики .
Критерий на основе h-статистики Дарбина. Этот критерий разработан для обнаружения автокоррелированности остатков в моделях, содержащих авторегрессионные члены. Тестирование осуществляется с помощью h-статистики Дарбина, которая вычисляется по формуле
, (3.114)
где – оценка коэффициента авторегрессии;
– число наблюдений;
– выборочная дисперсия коэффициента при лаговой переменной уравнения регрессии
. (3.115)
При большом объеме выборке и справедливости нулевой гипотезы статистика h имеет стандартизованное нормальное распределение (). Это позволяет по заданному уровню значимости определить критическую точку из условия и сравнить h-статистику с . Если , то нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции отклоняется.
Значение рассчитывается с помощью статистики Дарбина – Уотсона по формуле
, (3.116)
а представляет собой квадрат стандартной ошибки оценки .
Таким образом, статистика h легко вычисляется на основе данных оцененной регрессии (3.115). Единственная проблема, которая может возникнуть связана с тем, что вполне возможен случай, когда .
Тест серий (Бреуша – Голдфри). Идея этого теста основана на проверки значимости коэффициента авторегрессионной модели
, (3.117)
где – остатки регрессии, коэффициенты которой получены с помощью обычного МНК.
Схема практической реализации этого теста довольно проста, и поэтому не вызывает затруднений. Преимущество теста серий перед тестом Дарбина – Уотсона в том, что он не содержит зону неопределенности. Кроме того, с помощью критерия Бреуша – Голдфри можно выявлять автокорреляцию не только между соседними, но и между отдаленными наблюдениями, т.е. проверять значимость коэффициентов в авторегрессионных моделях первого, второго и более высоких порядков
. (3.118)
Тест серий предусмотрен большинством современных компьютерных пакетов и осуществляется специальной командой.