Комплексная частотная характеристика

.

Действительная и мнимая частотные характеристики

, .

Амплитудная частотная характеристика

.

У идеального дифференцирующего звена с увеличением  амплитуда линейно возрастает до ∞ . У реального дифференцирующего звена амплитуда возрастает монотонно, стремясь к пределу k / T .

Фазовая частотная характеристика

 () = arctg .

При  = 0,  = 90 , как у идеального дифференцирующего звена. Но мере увеличения частоты опережение по фазе уменьшается до нуля.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

.

Найдем асимптотические прямые логарифмической амплитудной частотной характеристики. В области < 1 . В области > 1L₂= 20lg(k/T)

Прямая L₁ пересекает ординату в точке с координатами lg = 0 , L₁ = 20 lg k , абсциссу – в точке с координатами lg = lg(1 / k) , L₁ = 0 . Cледует учесть, что k  1 и потому lg(1 / k) – число отрицательное. Прямая L₂ параллельна оси абсцисс, пересекает ординату в точке lg = 0, L₂ = 20lg(k /T) . Прямые L₁ и L₂ пересекаются в точке с абсциссой lg = lg(1 /T) . График представлен на рис. 3.6.

L()

0

Рис. 3.6. Асимптоты ЛАЧХ

реального дифференцирующего звена.

Чтобы найти переходную функцию, в операторном уравнении заменим X(p) на 1/ p:

.

Таблица преобразований Лапласа указывает, что

.

Значит, переходная функция имеет вид

.

В момент t = 0 h(0) = k /T. По мере увеличения t, функция h (t) экспоненциально уменьшается до нуля. Напомним: в идеальном дифференцирующем звене переходная функция имеет вид импульса.

5. Колебательное звено.

Математической моделью колебательного звена является линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (3.7)

при условии .

Колебательные процессы характеризуются двумя важными параметрами: коэффициентом затухания  и резонансной частотой ω₀ . Они выражаются через постоянные времени уравнения (3.7):  = Т₀ / 2Т , ω₀ = 1 / Т . Если ввести  в уравнение (3.7) , оно получает вид, более удобный для исследования колебательного процесса:

2  Т + y = kx. (3.8)

Условие Т₀² < 4Т ² заменяется условием ² < 1 .

Получим описание колебательного звена.

Дифференциальному уравнению (3.8) соответствует операторное уравнение

(T²p² + 2  Tp + 1) Y(p) = kX(p) ,

из которого получается передаточная функция

.

Если выходная величина не изменяется (dy/dt = 0, p = 0) передаточная функция вырождается в коэффициент усиления: К(0) = k.

Комплексная частотная характеристика звена

.

Действительная и мнимая частотные характеристики имеют вид:

,

.

Амплитудная частотная характеристика колебательного звена

.

У колебательного звена кривая A() имеет пик, вершина которого отвечает частоте₀= 1/T(рис. 3.5). То есть резонансной частоте. Максимальная величина амплитуды равнаk/ 2. Пик выше, если больше коэффициент усиления и меньше коэффициент затухания.

Фазовая частотная характеристика в интервале изменения частоты от = 0 до= 1/Tрассчитывается по формуле

.

П

2

2

1

ξ

2

)

(











T

T

arctg









ри = 0 () = 0. Значению ₀ = 1/T соответствует запаздывание –90  . С увеличением  запаздывание увеличивается и расчет надо вести по формуле .

Характер кривых показан на рис. 3.6.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика имеет вид:

L() = 20 lg k – 10 lg (1-T²²)² + 4 ²T²² .

Форма этой кривой зависит от коэффициента затухания  . В интервале 0,3    1 приемлемо асимптотическое представление. В области   1 L₁ = 20lgk. В области   1 L₂ = 20lg (k/T²) – 40 lg . Условие сопряжения прямых ₀ = 1/T, т.е. на резонансной частоте. Пересечение прямой L₂ c осью абсцисс при  =/T. Расположение асимптотических прямых показано на рис. 3.7.