6.2. Косвенные показатели качества
Корневые показатели
Рассмотрим, как влияет на переходной процесс расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости на примере системы, описываемой дифференциальным уравнением третьего порядка.
Характеристическое уравнение имеет три корня и соответствующее решение выглядит так:
.
Будем иметь ввиду устойчивую систему, то есть все корни имеют отрицательную действительную часть.
Для действительных корней кривая у(t) переходного процесса монотонная, рис. 6.3.
Если два корня комплексных и один действительный, причем действительный расположен ближе к мнимой оси, а комплексные дальше, то кривая переходного процесса приобретает слабо выраженную колебательность, рис. 6.4.
Если комплексные корни располагаются вблизи мнимой оси, а действительный дальше, переходной процесс приобретает ярко выраженный колебательный характер, рис.6.5. Чем ближе комплексные корни к мнимой оси, тем медленнее затухают колебания, тем длительнее переходной процесс (больше время tp ) . Чисто мнимые корни дают незатухающие гармонические колебания.
Найдем условие, при котором регулируемая величина у(t) станет меньше в m раз за время регулирования. То есть, у(t) уменьшится до величины порога нечувствительности Δ.
Рис. 6.3. Монотонная кривая переходного процесса.
P
V
y(t)
0
U
0t
6.4. Апериодический процесс с колебательной составляющей.
P
V
y(t)
0
U
0
t
Рис. 6.5. Затухающий колебательный процесс.
Для заданного времени tp требуется, чтобы корни рi имели отрицательную действительную часть менее некоторой отрицательной величины , рис. 6.6.
V
y(t)
y(0)
= C
0
U
y(tp)
0
tp
t
Рис. 6.6. Рис. 6.7.
Пусть время регулирования tp обеспечивается корнем=. Влиянием остальных корней пренебрегаем. Соответствующая этому корню кривая переходного процесса представлена на рис. 6.7. Она имеет уравнение
y(t) = Ce-t .
В начальный момент y(0) = C. В момент времени tp кривая пересечет порог нечувствительности. В точке М, где кривая пересекается с прямой y =
.
Величина y(tp) станет меньше в m раз по сравнению с величиной в начальный момент. То есть,
.
То есть,
.
Логарифмируя, получаем:
Значит, величина действительной части корня, обеспечивающего заданное время регулирования, должна быть:
.
(6.6)
Формула (6.6.) дает приближенную оценку , потому что остались без внимания другие слагаемые полного решения уравнения.
Параметр называют «запас устойчивости» или «степень устойчивости». Это абсолютное значение действительной части ближайшего к мнимой оси корня. Чем меньше , тем ближе система к границе устойчивости, тем больше время регулирования. При = 0 (система на границе устойчивости) время регулирования становится бесконечно большим.
Рассмотрим еще одну характеристику распределения корней: угол между отрицательной полуосью абсцисс и прямой, проведенной из начала координат к корню с максимальной мнимой частью, рис. 6.8 . В этот угол вписывается половина всех наиболее удаленных от мнимой оси корней. Корень с максимальной мнимой частью дает наибольший вклад в колебания. Величину
(6.7)
называют колебательностью системы или коэффициентом затухания системы. Чем меньше угол , тем меньше колебательность.
V
max
0U
Рис. 6.8.
Найти время регулирования для трех характеристических уравнений:
2p2 + p + 1 = 0 ,
p2 +2p + 1 = 0,
p2 + p + 2 = 0 .
Требуется, чтобы управляемая величина уменьшилась за время регулирования в е раз . (е = 2,718) .
1. Корни уравнения 2p2 + p + 1 = 0 будут :
p1 = -0,25 + j 0,66 , p2 = -0,25 – j 0,66 .
т.е.
= 0,25.
.
2. Корни уравнения p2 +2p + 1 = 0 будут :
p1 = -1 , p2 = -1 .
т.е. = 1 ,tp= 1c.
3. Корни уравненияp2 + p + 2 = 0 будут :
p1 = -0,5 + j 1,32 , p2 = -0,5 – j 1,32
т.е. = 0,5 , tp = 2 c.
Для переходной функции инерционного звена:
найти, через какое время t величина h(t) будет отличаться от своего предельного значения на единиц?
Предельное значение – это k единиц (при t = ∞)
Решение должно подчиняться условию h = k - при t = t Введем его в переходную функцию
и получим: =kexp(-t/T). Посредством логарифмирования находим:
.