3.2. Запаздывающее звено
В запаздывающем звене выходная величина начинает изменяться не мгновенно с воздействием входной величины, а некоторое время спустя.
Уравнение звена:
y(t) = kx(t - τ) , (3.2)
где τ – время запаздывания.
Изображение
функции с запаздывающим аргументом x(t
- τ)
по Лапласу есть
.
Следовательно, операторное уравнение
будет
.
Передаточная функция звена
.
Комплексная частотная характеристика, если раскрыть ее формулой Эйлера через тригонометрические функции,
.
Действительная частотная характеристика U(ω) = k cos ωτ , мнимая частотная характеристика V(ω) = – k sin ωτ.
Амплитудная частотная характеристика – постоянная величина:
.
Амплитуда не зависит от частоты, входной сигнал не изменяется.
Составляя
, обнаруживаем, что
откуда фазовая частотная характеристика:
φ (ω) = – ω τ .
Для фиксированного времени запаздывания τ зависимость от частоты линейная. Запаздывание по фазе нарастает с увеличением частоты.
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика
L() = 20 lg A() = 20 lg k .
Переходная функция запаздывающего звена h(t) = k1(t-) . На выходе звена получается скачок спустя секунд после воздействия на входе, рис. 3.1 .
h(t)
k
0
t
Рис.
3.1.
Переходная функция запаздывающего
звена
3.3. Инерционное звено.
Другое название - апериодическое звено первого порядка. Описывается дифференциальным уравнением
, (3.3)
где Т – постоянная времени звена, k – коэффициент усиления.
Операторное уравнение
(Tp + 1)Y(p) = kX(p) .
Передаточная функция
.
При p = 0 передаточная функция вырождается в коэффициент усиления. (p = 0 означает отсутствие изменения выходной величины, dy/dt = 0, что превращает инерционное звено в усилительное).
Комплексная частотная характеристика
.
Действительная и мнимая частотные характеристики
,
.
При = 0 амплитуда равна коэффициенту усиления, с увеличением стремится к нулю.
Амплитудная частотная характеристика:
.
Фазовая частотная характеристика:
.
Она представляет собой кривую, асимптотически приближающуюся к величине () = –/2.
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика:
.
Найдем
асимптотические прямые логарифмической
амплитудной частотной характеристики.
В области низких частот,
< 1, асимптотой
будет
.
В области высоких частот,
> 1, асимптотой
будет
20lg
. Прямая L2
пересекает ось абсцисс при lg
= lg(k/T),
ось ординат при lg
= 0; L2
= 20 lg
(k/T).
Прямые L1
и L2
пересекаются в точке сопряжения.
Приравняв
,
найдем частоту сопряжения:
.
(Ее также называют собственной частотой
инерционного звена). Общий вид графика
представлен на рис.3.2.
L()
L2
L1 20lgk
0
lg
Рис. 3.2. Общий вид асимптот ЛАЧХ инерционного звена
Переходная функция находится как решение уравнения (3.3) при x= 1 иу(0) = 0:
.
h(t) возрастает экспоненциально и стремится стать равной k при t .
Построить график комплексной частотной характеристики инерционного звена для k = 10 , Т = 0,1 .