4.3. Статические и астатические системы

Система, в структуре которой нет последовательно присоединенного интегрирующего звена, называется статической. Примером может служить последовательное соединение звеньев с передаточными функциями

, , .

Передаточная функция системы имеет вид

.

Система, в структуре которой есть последовательно присоединенное интегрирующее звено, называется астатической.

Если к трем предыдущим присоединить последовательно интегрирующее звено с передаточной функцией k₁/T₁p , получится передаточная функция

.

В знаменателе появился множитель: комплексная переменная p. Последовательное присоединение еще одного интегрирующего звена даст множитель p². Говорят, в первом случае система обладает астатизмом первой степени, во втором – второй степени. В общем случае – астатизмом степени n.

Т.о. по тому, нет или есть в знаменателе передаточной функции множитель pⁿ, системы делятся на два класса: статические и астатические.

В статической системе при постоянном входном воздействии выходная величина со временем становится постоянной, принимая значение, отличное от первоначального.

В астатической системе при постоянном входном воздействии выходная величина непрерывно изменяется.

П

ример 4.10.

Наиболее простым астатическим звеном является интегрирующее, у которого

.

Показать, что при постоянном входном воздействии выходная величина должна неограниченно возрастать.

Записываем операторное уравнение

,

вводим условие ступенчатого воздействия X(p) = 1 / p и получаем изображение переходной функции

.

В таблице изображений по Лапласу дроби 1 / p² соответствует оригинал t . Значит, переходной функцией будет

.

Зависимость линейная, при t   h(t) неограниченно возрастает.

П

ример 4.11.

Можно ли получить астатическую систему, охватив интегрирующее звено жесткой обратной связью?

Записывая передаточные функции звеньев в виде

и

получаем передаточную функцию системы

.

Вводя новые постоянные: T = T₁ / k₁k₂ и 1 / k₂ = k убеждаемся, что система имеет свойства инерционного звена:

.

То есть, система статическая. Однако, нетрудно убедиться, что при мягкой обратной связи система будет астатической.

4. Перестановка структурных элементов

0. Ограничения

Анализируя достаточно сложную структурную схему, вначале стремятся заменить одним звеном группы типовых звеньев, соединенных последовательно, параллельно или охваченных обратной связью. Это позволяет заменить несколько передаточных функций одной эквивалентной. Общие условия, которые должны выполняться при таких процедурах, это сохранение входных и выходных величин неизменными и сохранение неизменной структуры системы. В первом случае не изменяется передаточная функция системы. Величины, которые остаются неизменяемыми при тех или иных преобразованиях, математически называют инвариантами. Передаточная функция системы инварианта по отношению к тому, чтобы часть структурных элементов системы заменить одним, эквивалентным. Например, несколько последовательно соединенных звеньев заменить одним. Во втором случае переход от структуры с типовыми звеньями к структуре с эквивалентными звеньями должен быть обратимым: если вернуться назад, получится то же самое соединение звеньев.

Если переставить местами структурные элементы, может измениться направление движения сигналов и тогда изменится передаточная функция системы. Однако, некоторые перестановки структурных элементов не влияют на передаточную функцию системы. Инвариантность ПФ системы сохраняется. Такие перестановки – назовем их допустимыми – могут значительно облегчить анализ сложных структурных схем и, кроме того, быть полезными в практическом плане.

Поставим цель разобраться, каким образом получить допустимые перестановки структурных элементов в системе.

0. Перестановка узлов и сумматоров.