Требуется, чтобы и в плоскости область устойчивости находилась слева от кривойD-разбиения, если двигаться от к. Левая сторона кривой штрихуется.

Рассмотрим в качестве примера кривую, изображенную на рисунке 5.24. На этой кривой показано, как надо наносить штриховку. Область устойчивости ограничена кривой со штриховкой внутрь.

Параметр по физическому смыслу есть величина действительная, поэтому для расчетов используется только отрезок действительной оси, охваченной кривыми со штриховкой внутрь:

от точки 1 до точки 2. (рис. 5.24) .

П

ример 5.13

Дано характеристическое уравнение:

.

Пусть параметром будет , одно из значений которого=1 проставлено в уравнении. Надо найти, в каком интервале измененийхарактеристическое уравнение отвечает устойчивой системе автоматического регулирования.

Из уравнения:

выделим: (p) = - p³ - p² - p. Полагая p = j , находим:

,

,

Полагая V() = 0, найдем частоты и точки пересечения кривой с осью абсцисс: ₁ = 0, U(0) = 0, ₂ = 1, U(1) = 1. Неограниченно увеличивая  выясним, что U   и V   , кривая уходит в бесконечность в верхней правой полуплоскости. В интервале 0    1 U  1 и V  0 . Для промежуточных значении U и V ход кривой уточняется заданием соответствующих частот. По совокупности данных строится кривая D-разбиения для положительных частот и дополняется зеркальным отображением. Наносится штриховка слева при движении по кривой от - к +.

Результат показан на рис. 5.25. Интервал устойчивых значений  есть отрезок действительной оси от 0 до 1.

Контрольная проверка по критерию Гурвица для  = 0,5.

0,5 1

Рис. 5.25

Записываем характеристическое уравнение:

p³ + p² + p + 0,5 = 0 .

Коэффициенты: a₀ = 1, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 0,5. Действительно,

a₁a₂ -a₀a₃ > 0, система устойчива.

Пример 5.14.

Дано характеристическое уравнение вида:

.

Требуется найти значения Т, при которых система будет устойчивой.

Назначив Т параметром, выделим :

Полагая получаем:

.

Запишем действительную и мнимую части:

Анализ формул показывает:

- при  = 0 U = , V = ;

- при  = 1 U = 1, V = 0; кривая V (U) пересекает действительную ось;

• при  =  U = 0, V = -;

Кривая начинается в + , пересекает ось абсцисс и неограниченно приближается к мнимой оси, уходя в  .

Для уточнения хода кривой V (U) можно взять точки:

 = 0,5, U = 4, V = 1,5.

 = 2, U = 0,25, V = -1,5;

, U = 0,5 V = -0,7;

 = 0,82, U = 1,5, V = -0,4.

Построив на плоскости U, V кривую для положительных частот, отображаем ее зеркально относительно действительной оси и получаем кривую для отрицательных частот, рис. 5.26. Нанеся штриховку, получаем область устойчивости. Устойчивость системы обеспечивают те значения параметра  , которые располагаются на отрезке действительной оси от 1 до  . Контрольная проверка по критерию Гурвица подтверждает вывод.

V

1,5

1

0,5

0

-0,5

-1

-1,5

 → - ∞  → 0

1.5

1

0.5

2 3 4 U

-0.5

-1

-1.5 → 0

 → + ∞

Рис. 5.26

П

ример 5.15.

Дано характеристическое уравнение вида

.

Требуется найти интервал значений параметра λ, при которых САР будет устойчивой .

Записав

и положив p = jω , получаем комплексный параметр λ в виде

.

Выделяем действительную и мнимую части:

, .

Задаем ω и рассчитываем U и V для построения кривой V (U):

ω	U	V
0	∞	-∞
2,36	9	-6,7
3,16	5	0
4	3,1	1,9
5	2	2,4
5,45	1,68	2,44
6	1,4	2,4
10	0,5	1,8
∞	0	0

Построив кривую для положительных , дополняем ее зеркально отображенной (для отрицательных ω). Результат показан на рис . 5.27 .

V

3

2  =  0

 = ∞

5

2U

 = - ∞

-2  = + 0

-3

Рис.5.27.

Вывод: САР устойчива при значениях λ, принадлежащих интервалу

0    5. Границе устойчивости отвечают λ = 0 и λ = 5 .

Контрольная проверка по критерию Гурвица: все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля, определитель a₁a₂ - a₀a₃ > 0 .

5.5.2. D - разбиение по двум параметрам.

В основе лежит допущение, что в характеристическом уравнении можно выделить два параметра, М и N, которые могут изменяться, а остальные параметры заданы. Параметром может быть коэффициент или комбинация коэффициентов.

Если параметры М и N входят в характеристическое уравнение линейно, то характеристическое уравнение может быть представлено в виде

MQ(p) + NR(p) + H(p)=0 , (5.7)

где Q, R, H – некоторые полиномы.

Выделение областей устойчивости в плоскости параметров N и М достигается следующей процедурой.

Подставляем в характеристическое уравнение p = jω. Полиномы Q, R, H распадаются на вещественные и мнимые части:

Q (jω) = Q₁(ω) + jQ₂(ω),

R (jω) = R₁(ω) + jR₂(ω),

H (jω) = H₁(ω) + jH₂(ω).

Теперь их надо ввести в характеристическое уравнение (5.7) и выделить действительные и мнимые слагаемые:

Q₁(ω) М + R₁(ω) N + H₁(ω) + jQ₂(ω) M + R₂(ω) N + H₂(ω) = 0.

Если комплексное выражение равно нулю, значит его действительное и мнимое слагаемые по отдельности равны нулю:

Q₁(ω) M + R₁(ω) N + H₁(ω) = 0,

Q₂(ω) M + R₂(ω) N + H₂(ω) = 0.

Получается два линейных уравнения для определения параметров M и N :

Q₁(ω) M + R₁(ω) N = -H₁(ω),

Q₂(ω) M + R₂(ω) N = -H₂(ω) . (5.8)

Величины Q₁ , Q₂ , R₁ , R₂ рассматриваются как коэффициенты, а М и N – как переменные.

Определитель системы

.

Определители параметра М и параметра N:

, .

Определитель _М получается из определителя системы заменой элементов первого столбца свободными членами системы. Определитель _N – заменой элементов второго столбца свободными членами системы.

Для конкретного значения :

, .

На плоскости M, N это будет точка. Задавая ω от нуля до бесконечности, в плоскости M, N можно построить кривую, которая и есть граница D - разбиения. Система уравнений (5.8) имеет решение, если Δ ≠ 0 и Δ_M  0, Δ_N ≠ 0 ; и не имеет решения, если Δ = 0 (точка с координатами (M, N) уходит в бесконечность) . В случае Δ = 0, Δ_M = 0, Δ_N = 0, значения M и N становятся неопределенными. Уравнения (5.8) становятся зависимыми и определяют собой не точку, а прямую в плоскости M, N . Такая прямая называется особой прямой. В большинстве случаев особые прямые получаются для ω = 0 и ω = ∞.

Область устойчивости выделяется штриховкой. Правило штриховки следующее.

Если определитель Δ > 0, то двигаясь по D - кривой от ω = -∞ до ω = +∞, штрихуют левую сторону. Если Δ < 0 , то штрихуют правую сторону (знак определителя меняется, если + ω заменить на -ω).

Пример 5.16.

Дано характеристическое уравнение

p³ + Mp² + Np + 1 = 0.

Произвести D - разбиение в плоскости параметров M и N.

Полагая p = jω, находим: -jω³ – ω²M + jωN + 1 = 0 .

Запишем для условий задачи систему уравнений (5.8). Если какой-то из полиномов Q₁, Q₂, R₁, R₂ окажется равным нулю, вместо него надо поставить ноль.

-ω²M + 0N +1 = 0 , -ω²M + 0N = -1,

или

0M + ωN - ω³ = 0 . 0M + ωN = ω³ .

Определитель системы будет: .

Определители параметров:

. .

Получаем: , . Функциональная зависимость между коэффициентамиM и N представляет собой равнобочную гиперболу: MN = 1. График представлен на рис . 5.28 .

Рис. 5.28 .

Верхняя ветвь гиперболы уходит в  как для положительных, так и для отрицательных значений ω. Нижняя ветвь гиперболы уходит в  при стремлении к нулю положительных и отрицательных значений ω. Учитывая эти обстоятельства, штриховка получается двойной:  < 0 при изменении ω от 0 до +∞ (штриховка справа) и  > 0 при изменении ω от - до 0 (штриховка слева).

Пример 5.17.

Определить область устойчивости в плоскости параметров M и

N для уравнения:

p³ + Mp² + Np + N + 1 = 0.

Полагая p = j, образуем частотное уравнение -j³ -²M+jN +N + 10 = 0. Записываем его действительное и мнимое слагаемые в виде системы двух уравнений:

-²M + N = - 10,

0M + N = ³ .

Составляем определитель системы

и определители параметров:

.

Находим параметры:

, N = ²

При неограниченном возрастании частоты M стремится к 1, N стремится к бесконечности. При стремлении  к нулю M стремится к бесконечности, N к нулю. Вид кривой Д-разбиения показан на рис. 5.29. Замена  на -  вида кривой не меняет.

Рис. 5.29.

Для значений 0    + определитель   0, штриховка наносится справа. Для -    0 определитель   0, штриховка слева. Получается двойная штриховка в сторону области устойчивости, рис. 5.29.