2. Параллельное соединение звеньев.

Рассмотрим схему из трех параллельно соединенных звеньев с передаточными функциями К₁, К₂, К₃, рис. 4.2.

Х Y₁

К₁

ХХY₂ Y

К₂

Х Y₃

К₃

Рис. 4.2. Схема параллельного соединения звеньев.

Каждое i-звено имеет одинаковый входной сигнал Х и разные выходные сигналы Y_i. Все входные сигналы звеньев равны входному сигналу системы Х. Выходной сигнал системы равен сумме выходных сигналов звеньев: Y = Y₁ + Y₂ + Y₃. Передаточные функции К₁, К₂, К₃ считаются известными. Надо найти передаточную функцию системы W = Y / X.

Записываем:

Y = Y₁ + Y₂ + Y₃ = K₁ X + K₂ X + K₃ X = (К₁ + К₂ + К₃) X.

W = К₁ + К₂ + К₃ .

Не представляет труда вывести для любого числа параллельно соединенных звеньев передаточную функцию системы:

. (4.3)

Если параллельно соединяются не звенья, а их соединения в группы с передаточными функциями W_i, то в формулу (4.3) войдут передаточные функции W_i:

. (4.4)

П

ример 4.4.

Пропорционально-интегральный регулятор получают параллельным соединением двух звеньев, уравнения которых

y = kx и .

Найти передаточную функцию системы.

Составим операторные уравнения (предварительно продифференцировав второе уравнение, чтобы избавиться от интеграла):

Y(p) = k X(p) , .

Запишем передаточные функции звеньев:

K₁(p) = k ,

и, следуя формуле (4.3.), получим:

.

П

ример 4.5.

Пропорционально-дифференциальный регулятор образуется параллельным соединением усилительного и идеального дифференцирующего звеньев.

Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение системы.

Запишем передаточные функции звеньев,

K₁(p) = k , K₂(p) = Tp

и согласно формуле (4.3.) получим:

W(p) = k + Tp .

Операторное уравнение

Y(p) = (k + Tp) X(p)

показывает, что дифференциальным уравнением регулятора будет

.

4.2.3. Система с обратной связью

Чтобы получить систему с обратной связью, надо соединить звенья параллельно, но с противоположным движением сигналов, как показано на рис. 4.3.

U(p) – сигнал от задающего устройства, в данном случае – входной сигнал системы. С – сумматор. E (p) – ошибка слежения, входной сигнал звена с передаточной функцией К(р). Y₁(p) – выходной сигнал звена К(р), который одновременно является выходным сигналом системы Y(p). Линия, по которой передается входной сигнал системы, называется линией (каналом) прямой связи. Линия, начинающаяся от точки разветвления R и передающая сигнал в обратном направлении, называется линией (каналом) обратной связи. Сумматор, звено К(р) расположены на линии прямой связи. Звено К_ос(р) включено в линию обратной связи.

U(p)

E (p)

К (p)

K_oc(p)

Y_oc(p)

Y₁(p) R

Y(p)

Y(p)

С

Рис. 4.3. Схема соединения с обратной связью.

Система с обратной связью называется замкнутой.

Если сигнал линии обратной связи входит в сумматор со знаком, противоположным знаку задающего сигнала U(p), обратная связь называется отрицательной. Это указывается зачернением соответствующего сектора сумматора или пометкой знаком «минус». Примем, что обратная связь отрицательная, E(p) = U(p) – Y_oc(p). ( в случае положительной обратной связи E(p) = U(p) + Y_oc(p) ).

Для замкнутой системы можно составить несколько передаточных функций.

4.2.4. Передаточная функция разомкнутой системы. Получается, если разорвать обратную связь, например возле сумматора, как показано волнистыми черточками на рис. 4.3. В таком случае выходным сигналом оказывается Y_oc(p), а передаточная функция будет отношением Y_oc(p) к U(p):

W = (4.5)

Методом обратного движения осуществим построение операторного уравнения разомкнутой системы (аргумент р опустим):

Y_oc = K_oc Y = K_oc K E = K_oc K U

По определению (4.5), передаточной функцией разомкнутой системы будет:

W(p) = K_oc(p) K(p). (4.6)

Если вместо звена К(р) будет соединение звеньев с передаточной функциейW₁(p), вид формулы остается тем же:

W(p) = K_oc(p) W₁(p). (4.7)

Передаточная функция разомкнутой системы характеризует собственные динамические свойства системы.

4.2.5. Передаточная функция замкнутой системы. Выходным сигналом, как обозначено на схеме рис. 4.3, будетY(p), входнымU(p).

Передаточная функция замкнутой системы – обозначим ее есть отношение изображения регулируемой величины к изображению задающего воздействия:

. (4.8)

Двигаясь по контуру регулирования против направления передачи сигнала, получаем:

Y = Y₁ = K E = K (U – Y_oc) = K U – K K_oc Y.

Y (1 + K K_ос) = K U.

По определению (4.8) передаточной функцией замкнутой системы будет:

. (4.9)

Знак «плюс» в знаменателе соответствует отрицательной обратной связи. В случае положительной обратной связи ставиться знак «минус».

Обратная связь через усилительное звено называется жесткой, через дифференцирующее звено –мягкой.

Если в линии обратной связи звено отсутствует, и выходной сигнал системы непосредственно подается на вход, тогда К_ос(р) = 1. Замкнутая система имеет передаточную функцию

. (4.10)

Передаточная функция замкнутой системы характеризует передачу системой задающего воздействия, его воспроизведение регулируемой величиной.

Пример 4.6.

Разомкнутую систему из последовательно соединенных двух одинаковых инерционных звеньев замыкают. Найти передаточную функцию.

По условию, K₁(p) = K₂(p) = k / (Tp + 1). Значит, передаточная функция разомкнутой системы

.

Согласно формуле (4.5), передаточная функция замкнутой системы

.

Пример 4.7.

Интегрирующее звено соединяется последовательно с инерционным звеном. Соединение охватывается жесткой отрицательной обратной связью.

Найти передаточную функцию.

Передаточные функции звеньев:

, ,.

Перемножая K₁(p) и K₂(p) , получаем передаточную функцию соединения:

.

Передаточная функция замкнутой системы

.

Если произведение k₁k₂k₃ вынести за скобку, обозначить T₁T₂/k₁k₂k₃ = T²,

T₁/k₁k₂k₃ = T₀ и 1/k₃ = k, проявится структура передаточной функции звена второго порядка:

.

То есть, замкнутая система будет вести себя либо как колебательное звено (при условии T₀  2T), либо как апериодическое звено (при условии T₀  2T) .

П

ример 4.8.

Инерционное звено последовательно соединяется с интегрирующем. К цепочке параллельно подсоединяется звено с единичной передаточной функцией. Вся система охватывается жесткой обратной связью.

Найти передаточную функцию системы.

Структурная схема представлена на рис. 4.4.

K₄(p)

K₁(p)

K₂(p)

K₃(p)

Рис. 4.4.

Выпишем передаточные функции:

K₃(p) = 1; K₄(p) = k₄ .

Находим передаточную функцию разомкнутой системы из двух звеньев, K₁(p) и K₂(p) :

Находим передаточную функцию параллельного соединения:

Находим передаточную функцию замкнутой системы с учетом того, что обратная связь положительная:

.

Можно убедиться, что результат будет таким же, если нанести на схему обозначения сигналов и применить метод обратного движения.