4.1.2. Метод анализа структурной схемы

Заданы: структурная схема, входная и выходная величины системы. Ставиться задача определить передаточную функцию системы.

Для определения передаточной функции системы воспользуемся методом обратного движения. Метод обратного движения позволяет получить операторное уравнение, из которого и составляется передаточная функция. Заключается он в следующем.

Начинают с выходной величины системы. Двигаясь по схеме против направления передачи сигнала, связывают выходную величину, ближайшую передаточную функцию и ее входной сигнал операторным уравнением. Затем, продолжая двигаться против направления входного сигнала, достигают вторую передаточную функцию. Составляют операторное уравнение, в котором выходной сигнал будет равен произведению второй передаточной функции на следующий входной сигнал. Исключая промежуточную величину, связывают выходную величину системы и очередной входной сигнал. Повторяя процедуру, получают связь выходной величины системы с входной величиной системы.

Сумматоры дают два направления и по каждому надо двигаться против передачи сигнала.

В итоге получается операторное уравнение, которое содержит все передаточные функции, регулируемую величину и регулирующую величину. Из операторного уравнения находят передаточную функцию всей системы.

Применяя метод, соблюдают принцип суперпозиции, по которому два сигнала, проходящих по каналу, не взаимодействуют между собой. Их можно сложить и пропустить через звено, или сначала пропустить, а потом сложить  результат будет один и тот же. То есть

(Х₁ + Х₂) К = Х К = К Х₁ + К Х₂ = Y

4.2. Передаточные функции систем

4.2.1. Последовательное соединение звеньев

Рассмотрим систему из трех последовательно соединенных звеньев с передаточными функциями К₁, К₂, К₃, рис. 4.1.

Х₁

Х₂

Х₃

Y

К₁ К₂ К₃

Рис. 4.1. Схема последовательного соединения звеньев

Входная величина системы Х₁ , выходная Y. Передаточные функции К₁, К₂, К₃ считаются известными. Надо найти передаточную функцию системы W = Y / Х₁.

Применяя метод обратных движений, выразим Y, X₃, X₂ через К₃, К₂, К₁ и последовательно исключим промежуточные сигналы.

Y = K₃ X₃ = K₃ K₂ X₂ = K₃ K₂ K₁ X₁.

Следовательно,

W = K₁ K₂ K₃ .

Нетрудно вывести для любого числа последовательно соединенных звеньев передаточную функцию системы

(4.1)

Если какие то группы звеньев соединены заранее, можно найти их передаточные функции W_i и затем соединить последовательно. Структура формулы для определения передаточной функции системы не измениться:

(4.2)

Пример 4.1.

Интегрирующее звено соединяется последовательно с инерционным звеном. Какова будет передаточная функция системы?

Передаточные функции звеньев:

,.

Согласно формуле (4.1), передаточная функция системы

,

где k=k₁k₂/T₁.

Пример 4.2.

Неустойчивое звено с передаточной функцией

последовательно соединяется с неустойчивым звеном, имеющим передаточную функцию.

.

Выяснить, при каком условии система будет устойчивой.

Передаточная функция системы

.

Если положить T₁=T₂ , передаточная функция системы принимает вид:W(p) =k(T₂p+ 1) . Передаточная функция не содержит знака «минус», что является признаком устойчивости. Значит, условие устойчивости системыT₁=T₂.

Пример 4.3.

Интегрирующее звено соединяется последовательно с реальным дифференцирующим звеном. Найти передаточную функцию.

Передаточные функции звеньев:

и.

Перемножая, получаем передаточную функцию соединения:

,

где k=k₁k₂/T₁ . Она оказалась передаточной функцией инерционного звена.

(Пример показывает, что инерционное звено можно заменить последовательным соединением интегрирующего и реального дифференцирующего звеньев).