Задачи с решениями по всему курсу.
Задача 1. Выяснить тип инволюции:
Решение.
Пусть
– инвариантная точка инволюции. Тогда
или
Откуда получаем, что
,
или
.
Так
как
,
то получаем, что инволюция не имеет
неподвидных точек, т.е. является
эллиптической.
Задача 2. Вычислить координаты инвариантных точек инволюции:
Решение.
Пусть
– инвариантная точка инволюции. Тогда
или
Система совместна если и только если
.
Решая
уравнение
,
получаем
.
Подставляя
в первое уравнение, имеем
,
т.е.
–
инвариантная точка. Аналогично, подставляя
в первое уравнение, получаем
,
т.е.
– инвариантная точка инволюции.
Задача
3. Гомология
задана центром
,
осью
и точками
и
.
Построить:
-
точку
,
где
– данная точка прямой
; -
точку
,
где
– данная точка; -
точку
,
где
– данная точка.
Решение.
1) Возьмем произвольную точку
,
и построим
:
,
.
Далее, пользуясь соответственными
точками
и
,
строим
.
Рис 42
Рис 43
Задача
4. Написать формулы проективного
преобразования
прямой по трем парам соответствующих
точек:
и
,
и
,
и
,
если
,
,
.
Решение.
Пусть
– система векторов, согласованная
относительно репера
,
т.е.
и векторы
порождают соответственно точки
.
Решив систему уравнений
получаем
т.е.
.
Пусть
– система векторов, согласованная
относительно репера
,
т.е.
и векторы
порождают соответственно точки
.
Решая систему уравнений
получаем
т.е.
.
В
проективном преобразовании прямой
репер
переходит в репер
,
поэтому
Решив системы уравнений, получаем формулы проективного преобразования прямой:
Задача 5. (Задача о бабочке). Через внутреннюю точку O эллипса проведены три хорды [AB], [MN], [PQ]. Точка О является серединой хорды [AB], которая пересекает отрезки [PM] и [NQ] соответственно в точках E и F. Доказать, что точка О есть середина отрезка [EF].
Проективное решение.
Рис. 44
Рассмотрим перспективное отображение прямой (АВ) в пучёк прямых, проходящих через точку М, далее, согласно конструкции Штейнера, отображаем прямые, проходящие через точку М в пучёк прямых, проходящих через точку Q, которые в свою очередь снова отображаем перспективно на прямую (АВ). В результате точка Е перейдет в точку О, точка О – в точку F, точки А и В останутся неподвижными. Произведем симметрию относительно точки О. Точка F перейдет в некоторую точку G. При проективных преобразованиях сложное отношение четырёх точек, лежащих на одной прямой, сохраняется, то есть (АВ,ОЕ) = (ВА, GO) =(AB,OG). Таким образом, Е=G. Cледовательно, точка О есть середина отрезка [EF].
Для сравнения рассмотрим классическое доказательство теоремы о бабочке в круге методами евклидовой геометрии.
Теорема
о бабочке. Пусть через точку
,
являющуюся серединой хорды
некоторой окружности, проведены две
произвольные хорды
и
.
Хорды
и
пересекают отрезок
в точках
и
.
Тогда точка
является
серединой отрезка
.
Рис. 45
Доказательство.
Опустим перпендикуляры
и
из точек
и
на прямую
,
затем перпендикуляры
и
из точек
и
на прямую
.
Введем обозначения:
,
,
,
– треугольник с вершиной
и противолежащей ей стороной
,
аналогично и для других треугольников.
Из рассмотрения пар подобных треугольников
и
,
и
,
и
,
и
вытекает, что
,
откуда
и
,
что и требовалось доказать.
Задача
6. Центр инволютивной гомологии имеет
координаты
,
а ось гомологии – уравнение
.
Написать формулы преобразования.
Решение.
Пусть
,
,
где
.
Прямая
имеет уравнение
.
Точка
,
где
–
ось гомологии имеет координаты
.
Так как
–
инволютивная гомология, то
.
Пусть
.
Проектируем точки
,
,
из центра
на прямую
.
Получаем:
,
,
,
.
,
откуда
.
Так как
,
то
.
Получаем, что
,
т.е.
.
Аналогично
находим
,
.
,
т.к.
–
центр гомологии. Матрица перехода от
к
имеет вид:
Согласовываем столбцы матрицы перехода, решая систему линейных уравнений
Получаем
,
,
.
Согласованная матрица перехода имеет
вид:
.
Получаем аналитическое выражение заданной инволютивной гомологии:
или
Задача 7. Доказать теорему:
Если
– полный четырехвершинник с вершинами
на овальной кривой второго порядка, то
каждая его диагональная точка является
полюсом противолежащей диагонали.
Решение.
Докажем, например, что
является полюсом противолежащей
диагонали
,
т.е.
.
Остальное доказывается аналогично. По
теореме о гармонических свойствах
полного четырехвершинника
,
.
Отсюда следует, что
и
гармонически сопряжены с точкой
относительно овальной кривой и,
следовательно, лежат на ее поляре.
Поэтому
.
Рис. 46
Задача
8. Даны овальная кривая второго порядка
и точка
.
Построить поляру точки
,
если:
1)
–
внешняя точка относительно
;
2)
–
внутренняя точка относительно
;
3)
.
Решение.
1)
Через
проведем три секущие, пересекающие
овальную кривую в точках
,
,
,
,
,
.
Пусть
,
.
Так как
и
лежат на поляре точки
,
то
.
Рис. 47
2)
Через
проведем две произвольные прямые,
пересекающие овальную кривую в точках
,
,
,
.
Пусть
,
.
На основании теоремы, доказанной в
предыдущей задаче, делаем вывод, что
и
лежат на поляре точки
,
т.е.
.
Рис. 48
3)
Проводим через
секущую
и строим ее полюс
.
Тогда
будет
искомой касательной. Возьмем две
внутренние точки
и
на прямой
и построим их поляры
и
.
Тогда
и
–
касательная.
Рис. 49
Задача
9. Построить полюс данной прямой
относительно данной овальной кривой
второго порядка
.
Решение.
Возьмем две точки
и
на прямой
и
построим их поляры
и
.
Тогда
будет полюсом прямой
.
Задача
10. Из данной точки
евклидовой
плоскости провести касательную к данной
окружности
с помошью одной линейки.
Указание.
а) если
,
то поляра
точки
будет
искомой касательной.
б)
в случае
касательными будут
и
,
где
.
Задача
11. Точка
– внешняя относительно окружности
с центром
.
Через точку
проведены всевозможные секущие к
окружности
,
отличные от прямой
.
Доказать, что точки пересечения
касательных к окружности
в точках ее пересечения с каждой секущей
лежат на одной прямой, перпендикулярной
к прямой
.
Рис. 50
Решение.
Точка
является полюсом для
.
Поляра точки
проходит через
,
так как
,
т.е
.
Аналогично,
является полюсом для
и
поляра точки
проходит через
,
так как
,
т.е
.
Получили, что
.
Так как точки
и
взяты произвольно, то всякая точка
,
являющаяся точкой пересечения касательных
к окружности
в точках ее пересечения с секущей, будет
принадлежать поляре точки
,
т.е.
.
Пусть
.
По свойству окружности касательные в
точках
и
к
перпендикулярны
и пересекаются в несобственной точке
.
Поэтому
.
Задача
12. В окружности
проведены параллельные хорды и в их
концах – касательные к окружности.
Доказать, что точки пересечения
касательных в концах каждой из хорд
лежат на одной прямой, перпендикулярной
этим хордам и проходящей через центр
окружности
.
Указание.
Сводится к задаче 11,
когда
является несобственной точкой. Остается
лишь показать, что
.
Пусть
.
Тогда
,
так как
,
откуда следует, что
–
середина отрезка
и
(
–
несобственная точка прямой
).
Рис. 51
Задача 13. Овальная кривая второго порядка задана тремя своими точками и касательными в двух из них. Построить:
-
касательную в третьей точке;
-
еще одну точку кривой.
Решение.
Используем предельный случай теоремы
Паскаля. Пусть
,
где
,
,
где
– заданные касательные.
-
Построим касательную в третьей точке, т.е. прямую
,
где
.
Строим
,
,
.
Прямая
–
искомая касательная.
Рис. 52
2)
Построим точку
.
Пусть
.
Проводим через
произвольную прямую
,
не проходящую через
и
,
и пусть
.
Строим
и
.
Рис. 53
Задача
14. Центр инволютивной гомологии имеет
координаты
,
а ось гомологии – уравнение
.
Написать формулы преобразования.
Решение.
Пусть
,
,
где
.
Прямая
имеет уравнение
.
Точка
,
где
–
ось гомологии имеет координаты
.
Так как
–
инволютивная гомология, то
.
Пусть
.
Проектируем точки
,
,
из центра
на прямую
.
Получаем:
,
,
,
.
,
откуда
.
Так как
,
то
.
Получаем, что
,
т.е.
.
Аналогично
находим
,
.
,
т.к.
–
центр гомологии. Матрица перехода от
к
имеет вид:
Согласовываем столбцы матрицы перехода решая систему линейных уравнений
Получаем
,
,
.
Согласованная матрица перехода имеет
вид:
.
Получаем аналитическое выражение заданной инволютивной гомологии:
или
Задача 15. Доказать теорему:
Если
– полный четырехвершинник с вершинами
на овальной кривой второго порядка, то
каждая его диагональная точка является
полюсом противолежащей диагонали.
Решение.
Докажем, например, что
является полюсом противолежащей
диагонали
,
т.е.
.
Остальное доказывается аналогично. По
теореме о гармонических свойствах
полного четырехвершинника
,
.
Отсюда следует, что
и
гармонически сопряжены с точкой
относительно овальной кривой и,
следовательно, лежат на ее поляре.
Поэтому
.
Рис. 54
Задача
16. Даны овальная кривая второго порядка
и точка
.
Построить поляру точки
,
если:
1)
–
внешняя точка относительно
;
2)
–
внутренняя точка относительно
;
3)
.
Решение.
1)
Через
проведем три секущие, пересекающие
овальную кривую в точках
,
,
,
,
,
.
Пусть
,
.
Так как
и
лежат на поляре точки
,
то
.
Рис. 55
2)
Через
проведем две произвольные прямые,
пересекающие овальную кривую в точках
,
,
,
.
Пусть
,
.
На основании теоремы, доказанной в
предыдущей задаче, делаем вывод, что
и
лежат на поляре точки
,
т.е.
.
Рис. 56
3)
Проводим через
секущую
и строим ее полюс
.
Тогда
будет
искомой касательной. Возьмем две
внутренние точки
и
на прямой
и построим их поляры
и
.
Тогда
и
–
касательная.
Рис. 57
Задача
17. Построить полюс данной прямой
относительно данной овальной кривой
второго порядка
.
Решение.
Возьмем две точки
и
на прямой
и
построим их поляры
и
.
Тогда
будет полюсом прямой
.
Задача
18. Из данной точки
евклидовой
плоскости провести касательную к данной
окружности
с помошью одной линейки.
Указание.
а) если
,
то поляра
точки
будет
искомой касательной.
б)
в случае
касательными будут
и
,
где
.
Задача
19. Точка
– внешняя относительно окружности
с центром
.
Через точку
проведены всевозможные секущие к
окружности
,
отличные от прямой
.
Доказать, что точки пересечения
касательных к окружности
в точках ее пересечения с каждой секущей
лежат на одной прямой, перпендикулярной
к прямой
.
Рис. 58
Решение.
Точка
является полюсом для
.
Поляра точки
проходит через
,
так как
,
т.е
.
Аналогично,
является полюсом для
и
поляра точки
проходит через
,
так как
,
т.е
.
Получили, что
.
Так как точки
и
взяты произвольно, то всякая точка
,
являющаяся точкой пересечения касательных
к окружности
в точках ее пересечения с секущей, будет
принадлежать поляре точки
,
т.е.
.
Пусть
.
По свойству окружности касательные в
точках
и
к
перпендикулярны
и пересекаются в несобственной точке
.
Поэтому
.
Задача
20. В окружности
проведены параллельные хорды и в их
концах – касательные к окружности.
Доказать, что точки пересечения
касательных в концах каждой из хорд
лежат на одной прямой, перпендикулярной
этим хордам и проходящей через центр
окружности
.
Указание.
Сводится к задаче 11,
когда
является несобственной точкой. Остается
лишь показать, что
.
Пусть
.
Тогда
,
так как
,
откуда следует, что
–
середина отрезка
и
(
–
несобственная точка прямой
).
Рис. 59
Задача 21. Овальная кривая второго порядка задана тремя своими точками и касательными в двух из них. Построить:
-
касательную в третьей точке;
-
еще одну точку кривой.
Решение.
Используем предельный случай теоремы
Паскаля. Пусть
,
где
,
,
где
– заданные касательные.
-
Построим касательную в третьей точке, т.е. прямую
,
где
.
Строим
,
,
.
Прямая
–
искомая касательная.
Рис. 60
2)
Построим точку
.
Пусть
.
Проводим через
произвольную прямую
,
не проходящую через
и
,
и пусть
.
Строим
и
.
Рис. 61
Задача 22. Овальная кривая второго порядка задана тремя касательными к ней и точками касания двух из них. Построить:
1) еще одну касательную;
-
еще одну точку кривой.
Решение.
Пусть
,
,
– заданные касательные и
,
– точки касания,
,
.
Используем предельный случай теоремы
Брианшона.
1)
Пусть
,
.
Возьмем на касательной
некоторую точку
.
Строим точку Брианшона
и
.
– искомая касательная.
Рис. 62
2)
Построим точку касания
.
Пусть
,
,
.
Строим точку Брианшона
.
– искомая точка кривой.
Рис. 63
Задача 23. На евклидовой плоскости даны ось, вершина и еще одна точка параболы. Построить касательную к параболе в этой точке.
Рис. 64
Решение.
Используем предельный случай теоремы
Паскаля. Касательной к параболе в ее
вершине является перпендикуляр к оси,
поэтому вершину будем считать двойной
точкой
,
а касательную обозначим как
.
Касательной к параболе в несобственной
точке оси является несобственная прямая,
поэтому обозначим несобственную точку
оси как
.
Так как нас интересует касательная в
заданной точке, то она также будет
двойной точкой
.
Строим
и
.
Находим точку
используя то, что
и
.
Прямая
– искомая касательная в точке
.
Задача 24. Даны две асимптоты гиперболы и одна ее точка. Построить:
1) касательную к гиперболе в данной точке;
2) еще одну точку гиперболы.
Решение.
Известно, что асимптоты гиперболы на
расширенной плоскости являются
касательными в ее несобственных точках.
Воспользуемся предельным случаем
теоремы Паскаля. Несобственные точки
асимптот будем считать двойными точками
и
соответственно.
1)
Заданную точку, в которой нужно провести
касательную к гиперболе также будем
считать двойной
.
Строим
и
.
Точка
лежит на несобственной прямой
,
т.е. является несобственной точкой
прямой
.
Прямая
– искомая касательная.
Рис. 64
1)
Строим
.
Проводим через
произвольную прямую
.
Тогда
будет несобственной этой прямой, т.е.
,
так как
лежит на несобственной прямой
.
Точку
паскалевой прямой получаем из того, что
и
.
Искомую
получаем как пересечение
.
Рис. 65