IV. Повторные испытания

Схема Бернулли – последовательность испытаний, удовлетворяющих условиям:

• число испытаний фиксировано,

• каждое из испытаний приводит к одному из двух взаимоисключающих исходов,

• вероятности этих исходов постоянны во всех испытаниях,

• опыты независимы.

Пусть проведено независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться с постоянной вероятностью . Вероятность ненаступления события в каждом испытании равна : . Требуется вычислить вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится ровно раз: .

Формула Бернулли

Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна, а число испытаний невелико , то вероятность того, что событие при независимых испытаниях появиться ровно раз, можно определить по формуле:

.

Вероятность того, что событие наступит

менее раз
более раз
не менее раз
не более раз

Формула Пуассона

Если число независимых испытаний достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании очень мала , то вероятность появления события ровно раз в испытаниях определяется по приближенной формуле

, , .

Локальная теорема Лапласа

Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна (причем не близко к 0 и 1), то вероятность того, что событие в серии из независимых испытаний (где достаточно велико) появится ровно раз, определяется по приближенной формуле:

, ,

где – функция вероятностей, – четная функция.

Значения функции находят по таблице (приложение 1). Для всех .

Интегральная теорема Лапласа

Если число независимых испытаний достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании не мала, то вероятность появления события в интервале от до раз определяется приближенной формулой

,

, .

Функция – нечетная. Значения функции находят по таблице (приложение 2). При .

Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности. Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна. Вероятность того, что в испытаниях относительная частота появления события отклонится от вероятности не более, чем на , определяется приближенной формулой

.

Наивероятнейшее число появлений события в серии независимых испытаний. Число появлений события в независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность появления события это число раз является наибольшей.

.

Если:

• – целое число, то ,

• – дробное число, то существует единственное число , равное целой части ,

• – целое число, то существует два наивероятнейших числа, равные соответственно левой и правой части неравенства.

Пример 11.

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. Найти вероятность 3-х попаданий при 5-ти выстрелах.

Решение.

По формуле Бернулли определим искомую вероятность

.

Пример 12.

Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

Решение.

По условию .

Используем формулу Пуассона.

,

.

Пример 13.

75% всей продукции соответствует требованиям высшего сорта. Найти вероятность того, что в партии из 150 изделий: а) 100 изделий окажется высшего сорта; б) не менее 110 изделий окажутся высшего сорта.

Решение.

а) .

Событие – появление изделия высшего сорта.

.

По таблице (приложение 1) находим:

,

тогда

.

б) .

,

,

.

Значит

.

Пример 14.

Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота отклониться от 0,8 не более, чем на 0,04.

Решение.

.

.

Пример 15.

Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Сколько необходимо проверить деталей, чтобы с вероятностью 0,9544 можно было утверждать, что частость отклониться от вероятности не более, чем на 0,02.

Решение.

.

, ,

по таблице ,

, , .