Классическое определение вероятности

Вероятность события определяется как отношение числа благоприятствующих событию исходов к общему числу всех возможных в данном опыте исходов

,

здесь – число исходов, благоприятствующих событию ,

– число всех возможных исходов.

Эта формула непосредственного подсчета вероятности.

Классическая вероятность является предсказывающей характеристикой, оценивающей степень возможности наступления события. Ее определяют без проведения опыта.

Статистическое определение вероятности

Относительная частота события (или частость) определяется как отношение числа испытаний, в которых это событие появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний

где т – число испытаний, в которых событие наступило,

п – общее число проведенных испытаний.

Относительная частота является фиксирующей характеристикой, ее вычисляют после опыта.

Геометрическое определение вероятности

Вероятность равна отношению меры включаемого множества к мере включающего множества. Под мерой понимают длину, площадь или объем.

Свойства вероятности:

• Вероятность достоверного события равна 1

.

• Вероятность невозможного события равна 0

Р() = 0 .

• Вероятность случайного события принимает значения от нуля до единицы

.

Пример 1.

Подбрасывают игральную кость. Найти вероятность того, что выпавшее число очков окажется: а) четным; б) кратным 3.

Решение.

У игральной кости 6 граней – это есть возможное число исходов.

а) Среди всех граней игральной кости имеется 3, содержащее четное число очков – 2,4,6. Поэтому вероятность будет равна:

б) На гранях игральной кости есть два числа, кратных 3 – это 3 и 6. Поэтому вероятность будет равна

Пример 2.

На карточках написаны буквы О, Р, Т, П, С. Какова вероятность, что при случайном раскладывании получится слово “СПОРТ”?

Решение.

Число возможных исходов в данном случае равно числу перестановок, которое можно сделать из 5 букв, т.е. одно расположение букв отличается от другого расположения только порядком букв. Следовательно,

Благоприятный же исход всего один, и вероятность будет равна

.

Пример 3.

Абонент забыл две последние цифры номера телефона и помнит лишь, что они разные. Какова вероятность правильного набора номера?

Решение.

Число возможных исходов равно числу размещений из 10 цифр по 2, т.к. могут участвовать любые две цифры, и при этом порядок набора тоже будет иметь значение. Итак,

Благоприятный исход один, поэтому

.

Пример 4.

В группе студентов 15 девушек и 10 юношей. Отбирают команду из 5 человек. Какова вероятность, что в команде окажется 3 юноши?

Решение.

Число возможных исходов равно числу сочетаний из 25 человек по 5 человек, т.к. каждый вариант команды отличается от другого хотя бы одним человеком, а порядок значения не имеет. Следовательно,

Подсчитаем число благоприятствующих исходов: среди 10 юношей выбирают 3-х, это можно сделать способами, остальные в команде – 2 девушки, их можно выбрать способами, причем каждый вариант выбора 3-х юношей может сочетаться с каждым вариантом 2-х девушек, поэтому число благоприятствующих исходов равно .

.

Искомая вероятность

Пример 5.

Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата.

Решение.

Возможные исходы будут составлять точки круга, они заполняют площадь круга, т.е. Чтобы определить благоприятствующие исходы, нужно найти площадь вписанного квадрата. Известно, что сторона квадрата, вписанного в круг радиуса , равна , тогда площадь его составляет , т.е.

Вероятность равна