V. Случайные величины и их характеристики

1. Понятие о случайных величинах

Случайной величиной называют такую переменную, которая в результате испытания может принимать одно из возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно. Например, число попаданий при пяти выстрелах, рост человека.

Дискретной (прерывной) называется случайная величина, которая может принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга значения из некоторого промежутка. Например, число очков при подбрасывании игральной кости.

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любое значение из некоторого интервала. Например, расстояние, которое пролетает снаряд.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения можно задать табличным, графическим, аналитическим способами.

Ряд распределения – это перечень всех возможных значений дискретной случайной величины и соответствующих им вероятностей.

			…
			…

Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице

.

В целях наглядности ряд распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения или полигоном.

2. Функции распределения

Дискретные и непрерывные случайные величины можно задавать с помощью интегральной функции распределения.

Интегральной функцией распределения (или функцией распределения) называется функция , которая определяет для каждого значения вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее числа

.

Свойства интегральной функции

1. Значения интегральной функции заключены в интервале .

2. Интегральная функция является неубывающей функцией.

3. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из , равна приращению интегральной функции на этом интервале

.

Непрерывные случайные величины можно задавать с помощью дифференциальной функции.

Дифференциальной функцией или плотностью вероятности называется первая производная от интегральной функции

Кривой распределения непрерывной случайной величины называют график ее плотности вероятности.

Свойства дифференциальной функции

1. Дифференциальная функция неотрицательна.

2. .

3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение из интервала равна определенному интегралу от плотности распределения на этом интервале

.

Связь между интегральной и дифференциальной функциями

, .

3. Числовые характеристики случайных величин

Числовыми характеристиками случайной величины называются характеристики, которые в сжатой форме выражают наиболее существенные особенности распределения.

Математическое ожидание (ожидаемое среднее).

Для дискретной случайной величины –

.

Для непрерывной случайной величины –

.

Свойства математического ожидания

1. 

2. 

3. – для независимых случайных величин.

4. 

Дисперсия (мера рассеивания) –

,

– для дискретной случайной величины,

– для непрерывной случайной величины.

Свойства дисперсии

1. 

2. .

3. – для независимых случайных величин.

4. .

Среднее квадратическое отклонение –

.