МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ТОРГОВЛИ

ИМ. М. ТУГАН - БАРАНОВСКОГО

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебное пособие

для студентов ФЭУМО, УФФ

Донецк 2003

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ТОРГОВЛИ

ИМ. М. ТУГАН - БАРАНОВСКОГО

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебное пособие

для студентов ФЭУМО, УФФ

Утверждено

на заседании кафедры высшей

и прикладной математики

Протокол № 15 от “30” 05 2003 г.

Одобрено

учебно-методическим советом университета

Протокол № __ от “__” 2003 г.

Донецк 2003

УДК 5192381:(076)

Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для студентов ФЭУМО, УФФ. /Составители: Пенина Г.Г., Узбек Е.К., Орлова Л.М. – Донецк, ДонГУЭТ. – 2003. – 100 с.

Учебное пособие предназначены для студентов дневного и заочного отделений ФЭУМО и УФФ. Пособие содержит программу курса, общие методические указания, необходимые конкретные рекомендации по важнейшим темам, 30 вариантов заданий на каждую тему курса, рекомендованную литературу.

Данное учебное пособие также может быть использовано студентами других специальностей для самостоятельного тренинга. Рассмотренные типовые примеры помогут студентам сориентироваться в изучаемом курсе.

Рецензенты: доц. Сильченко В.А.

доц. Винда Е.В.

 Донецкий государственный университет экономики и торговли им. М. Туган-Барановского, 2003

С О Д Е Р Ж А Н И Е

		стр.
	Введение……………………………………………………………….	4
I	Программа курса…………………………………………………….	6
II	Общие методические указания………………………………….	8
III	Основные понятия курса………………………………………….	9
	1. Элементы комбинаторики………………………………………..	9
	2. Виды событий ………………………………………………………	11
	3. Различные определения вероятности ………………………….	12
	4. Основные теоремы и формулы………………………………….	15
IV	Повторные испытания……………………………………………	20
V	Случайные величины и их характеристики…………………..	24
	1. Понятие о случайных величинах ……………………………….	24
	2. Функции распределения …………………………………………	25
	3. Числовые характеристики случайных величин ………….….	26
	4. Конкретные законы распределения ……………………………	27
	5. Закон больших чисел ……………………………………………..	31
VI	Элементы математической статистики………………………...	33
	1. Характеристики распределения опытных данных ………….	33
	2. Построение законов распределения по опытным данным…	40
	3. Критерии согласи. Основные понятия…………………………	45
	4. Линейная корреляция и уравнение линейной регрессии….	51
VII	Применение компьютерных средств для решения некоторых задач статистики………………………………………	56
VIII	Задания для контрольной работы………………………………	64
	Литература……………………………………………………………..	91
	Приложения…………………………………………………………...	92

В в е д е н и е

Возникновение теории вероятностей в современном смысле слова относится к середине XVII века и связано с исследованиями Тарталья, Кардана, Паскаля, Ферма, Гюйгенса, Декарта в области теории азартных игр. В начале XVIII века Яковом Бернулли была открыта теорема, теперь носящая его имя, являющаяся одной из центральных теорем теории вероятностей; теорема, которую по справедливости считают началом теории вероятностей (закон больших чисел).

В России первые исследования по теории вероятностей были выполнены в середине ХIХ века. Они связаны с именами замечательных русских ученых математиков Н.И. Лобачевского (1792-1856), М.В. Остроградского (1801-1861) и В.Я. Буняковского (1804-1889). “Основания математической теории вероятностей” (1846) Буняковского имели большое значение для ознакомления русских математиков с этой теорией, так как это было первое фундаментальное руководство по теории вероятностей, изданное в России. В этой работе Буняковский, наряду с изложением самой теории вероятностей осветил вопросы ее практического применения, дал терминологию новой науки на русском языке. Это было сделано настолько удачно, что она до сих пор не подверглась существенным изменениям. Благодаря трудам Буняковского преподавание теории вероятностей в русских университетах стало намного шире и глубже, чем в зарубежных.

Во второй половине ХIХ столетия следует целый ряд блестящих открытий русских математиков. После работ выдающегося русского математика и механика П.Л. Чебышева (1821-1894) и его учеников А.М. Ляпунова (1857-1918) и А.А. Маркова (1856-1922) во всем мире теорию вероятностей стали называть русской наукой.

Эти замечательные традиции были продолжены и современными учеными. Работы С.Н. Бернштейна (1880-1968) оказали серьезное влияние на дальнейшее распространение теории вероятностей в нашей стране. А.Я. Хинчин (1894-1959) известен своими исследованиями в области обобщения и усиления закона больших чисел, в области так называемых стационарных случайных процессов. Решающее значение имела работа А.Н. Колмогорова “Основные понятия теории вероятностей” (1933), которая знаменовала собой начало нового исторического этапа в развитии этой науки.

Сейчас, пожалуй, нет области знания, в которой не использовались бы методы теории вероятностей. Применение вероятностно-статистических методов стало традиционным во многих науках. К ним относятся физика, геодезия, военная наука, теория измерений, медицина, лингвистика и многие другие. Кроме того на основе вероятностных методов появился целый ряд новых наук, отпочковавшихся от теории вероятностей. Это теория информации, теория надежности, статистический контроль качества, планирование эксперимента и др.

Теория вероятностей – наука, изучающая закономерности массовых случайных явлений с количественной их стороны.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз по иному. Например, одно и тоже тело взвешивается на аналитических весах; результаты повторных взвешиваний несколько отличаются друг от друга. Эти различия обусловлены многими факторами, сопровождающими операцию взвешивания, таких как положение тела на чашке весов, ошибки отсчета показаний прибора, вибрация аппарата и др.

Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную модель. При этом из бесконечного множества факторов, влияющих на явление, выделяют самые главные.

Какие же существуют пути и методы для исследования случайных явлений? Очевидно, что должна существовать принципиальная разница в методах учета основных факторов рассматриваемого явления и второстепенных факторах, влияющих на явления в качестве погрешностей. Методы, учитывающие элемент неопределенности, сложности, многопричинности, присущий случайным явлениям, разрабатываются в теории вероятностей. Ее предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных процессах. Практика показывает, что, наблюдая однородные случайные явления, мы обнаруживаем вполне определенные закономерности, своего рода устойчивости. Например, при многократном подбрасывании монеты частота появления герба приближается к 0,5.

Методы теории вероятностей по своей природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из которых остается случайным. Чем большее количество однородных случайных явлений участвует в задаче, тем определеннее проявляются присущие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точностью можно осуществлять научный прогноз. Вероятностный или статистический метод в науке не противопоставляет себя классическому методу точных наук, а является его дополнением, позволяющем глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случайности.

I программа курса

1. Элементы комбинаторного анализа. Принципы умножения и сложения. Перестановки, размещения и сочетания.

2. Случайные события и их классификация. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Ограниченность классического определения вероятности. Непосредственное вычисление вероятностей при конечном числе равновозможных случаев.

3. Теоремы сложения вероятностей. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса.

4. Повторные независимые испытания:

   1. Схема повторных испытаний Бернулли. Точная формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений события.

   2. Асимптотическая формула биноминального распределения (локальная теорема Лапласа). Интегральная теорема Лапласа. Следствия интегральной теоремы Лапласа.

   3. Формула редких событий Пуассона.

5. Случайные величины и их числовые характеристики:

   1. Дискретные и непрерывные случайные величины. Ряд распределения и многоугольник распределения вероятностей дискретной случайной величины.

   2. Функция распределения и плотность распределения (интегральный и дифференциальный законы распределения) случайной величины. Их свойства и графики. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

   3. Характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, их свойства.

   4. Биномиальный закон распределения вероятностей. Закон распределения Пуассона.

   5. Равномерное и показательное (экспоненциальное) распределения.

   6. Нормальный закон распределения и кривая Гаусса. Вероятность заданного отклонения. Правило трех сигм.

   7. Действия над независимыми случайными величинами. Составление законов распределения и нахождение характеристик суммы, разности, произведения независимых случайных величин.

6. Закон больших чисел.

   1. Оценки отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Теорема Бернулли.

   2. Неравенство и теорема Чебышева.

   3. Понятие о теореме Ляпунова.

7. Основные сведения из математической статистики:

   1. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд. Точечное и интервальное статистические распределения. Частоты, относительные и накопленные частоты. Графическое представление статистического распределения выборки: полигон, гистограмма, кумулятивная кривая.

   2. Эмпирическая функция распределения и ее график.

   3. Характеристики статистического распределения выборки: выборочное среднее, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода и медиана.

8. Нахождение параметров распределения по выборочным данным для нормального распределения и распределения Пуассона. Понятие о критериях согласия. Критерии согласия Пирсона, Колмогорова, Ястремского.

9. Элементы теории корреляции:

   1. Функциональная и статистическая зависимости. Условное среднее. Корреляционная зависимость признаков. Уравнение регрессии.

   2. Метод наименьших квадратов нахождения параметров уравнения прямой линии регрессии по несгруппированным данным.

   3. Коэффициент корреляции.

   4. Корреляционная таблица. Нахождение корреляционной связи между переменными в виде уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным.

   5. Простейшие случаи криволинейной корреляции. Корреляционное отношение.

   6. Понятие о множественной корреляции.