II общие методические указания
Основным методом овладения учебным материалом студентом-заочником является его самостоятельная работа в межсессионный период. Теоретический материал изучается по учебнику и в обязательном порядке закрепляется решением примеров и задач. Без решения задач значительное большинство учебного материала по теории вероятностей и математической статистике освоено быть не может. Студент имеет возможность обратиться к преподавателю для получения письменной или устной консультации.
После изучения соответствующего материала студент выполняет контрольную работу и защищает ее перед экзаменом. По курсу “Теория вероятностей и математическая статистика” предусмотрена одна контрольная работа.
Контрольная работа содержит 9 задач – по одной из разделов I-IХ. Задачи следует выбирать, ориентируясь на две последние цифры зачетной книжки. Если две последние цифры образуют число, превышающее 30, то из него вычитают число, кратное 30, и получают номер варианта. Например, последние цифры зачетки 79, тогда вариант определяют так: 79 – 60 =19.
Правила оформления контрольной работы:
-
контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради чернилами или пастой любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний преподавателя;
-
в заголовке работы должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, номер зачетки. Заголовок работы нужно поместить на обложке тетради;
-
решения задач следует располагать в порядке их номеров;
-
перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными в соответствии с вариантом;
-
решение задач необходимо излагать подробно и аккуратно, объясняя действия;
-
в конце выполненной работы следует перечислить использованную для решения литературу.
III основные понятия курса
1. Элементы комбинаторики
В разделе “Комбинаторный анализ” изучаются понятия, позволяющие определить без прямого пересчета различные возможные комбинации конечного числа элементов некоторого множества.
Принцип умножения:
Пусть нужно
последовательно выполнить
действий. Если первое действие можно
выполнить
различными способами, второе –
различными способами и так до
го
действия, которое можно выполнить
различными способами, то все
действий можно выполнить
различными способами.
Принцип сложения:
Если два действия
взаимно исключают друг друга, причем
одно из них можно выполнить
различными способами, а другое –
различными способами, то какое-либо
одно из них можно выполнить
различными способами.
Перестановкой
из
элементов называют упорядоченное
расположение этих элементов в определенной
линейной последовательности.
Различные перестановки
из
элементов отличаются порядком их
следования. Число перестановок из
элементов:
Из трех элементов
можно составить
перестановок:
,
,
,
,
,
.
Размещением
из
элементов по
элементов называют произвольное
упорядоченное
элементное
подмножество
элементного
множества.
Различные размещения
из
элементов по
отличаются друг от друга набором
элементов и (или) порядком их следования.
Число размещений из
элементов по
элементов:
Из трех элементов
можно составить
двухэлементных размещений:
,
,
,
,
,
.
Сочетанием
из
элементов по
называют произвольное неупорядоченное
элементное
подмножество
элементного
множества.
Различные сочетания
из
элементов по
отличаются друг от друга набором
элементов. Число сочетаний из
элементов по
элементов:
Замечание:
и т.д.
Из трех элементов
можно составить
двухэлементных сочетаний:
,
,
.
Комбинации
и
представляют собой одно сочетание.
|
Пример. |
Сколько существует различных трехзначных чисел? |
Решение.
Каждую цифру числа
можно выбрать определенным числом
способов: первую – девятью (все цифры
подходят, кроме нуля, т.к. иначе это будет
не трехзначное число), вторую – десятью
и третью – десятью способами. По принципу
умножения:
.
|
Пример. |
Сколькими способами могут распределиться призовые места на чемпионате по футболу, в котором участвуют 12 команд? |
Решение.
По принципу умножения
на первое место могут претендовать 12
команд, на второе – 11 (одна команда
заняла первое место), на третье – 10.
Следовательно, общее число способов
.
С помощью числа размещений:
.
|
Пример. |
Сколькими способами можно заполнить лотерейный билет 5 из 36? |
Решение.
Поскольку при заполнении билета не важен порядок следования чисел, то количество способов вычисляют по формуле числа сочетаний:
.