§1.28. Момент инерции диска. Теорема Штейнера

dm = ρ∙dv dv = h∙ds

ds = π(r + dr)² – πr² = 2πrdr dm = ρh2πrdr

I== 2πhρ=

но πr²h =V – объем цилиндра

m = V∙ρ → I =

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера

I = I_c + ma²

I_c –момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, a – расстояние между осями, m – масса тела.

§1.29. Момент силы

Моментом силы относительно неподвижной оси называется величина (векторная) , определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведённого от оси к точке приложения силы, на силу .

ℓ = r Sin α – плечо силы.

Модуль М = Fr Sin α = ℓ ∙ F

§1.30. Работа при вращательном движении.

Энергия вращающегося и катящегося тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения.

Из рисунка видно, что

dS = rdφ

dA= = F۰dS۰Cosβ = F۰dS۰Sinα ∙ = F۰ r ∙ dφ ∙Sinα

ℓ-плечо силы F, но M = F۰ℓ = F۰r۰Sinα, откуда

Fr Sinα = Fℓ = M

dA = M ∙ dφ→ A = M ∙ φ или А =

Работа при вращении тела равна произведению момента силы на угол поворота. При вращении тела работа идет на увеличение его кинетической энергии

dA = dW_k

для материальной точки но V= ωR

откуда но момент инерции

окончательно кинетическая энергия вращающегося тела.

Следовательно

Mdφ = Iωdω

или но

откуда

- основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Катящееся тело.

- кинетическая энергия катящегося тела.

§1.31. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки А относительно оси называется величина

- вектор (псевдовектор)

- радиус-вектор, проведённый от оси к материальной точке

- импульс материальной точки

- момент импульса (псевдовектор)

модуль L = rP Sin α = mV_z Sin α = pℓ где ℓ - плечо

Момент импульса твердого тела относительно оси

где r_i – радиус окружности, по которой движется i-я точка массой m_i

но V_i = ωr_i →

т.е. L_z = I_zω

Откуда:

это еще одна форма основного закона динамики вращательного движения твердого тела.

в общем случае

Если система замкнута, то момент внешних сил равен нулю откуда

закон сохранения момента импульса. Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Закон сохранения момента импульса справедлив и в квантовой механике, и в релятивистской механике, он носит универсальный характер. Это - фундаментальный закон природы. Он связан с изотропностью пространства – его (инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат).

§1.32. Условия равновесия твердого тела.

Всякое движение твердого тела можно представить как сумму поступательного и вращательного движений. С учетом этого условий равновесия тела два:

1) - равнодействующая всех сил приложенных к телу равна нулю (тело не движется поступательно).

2) - геометрическая сумма моментов сил приложенных к телу равна нулю (тело не вращается).

Поступательное.	Вращательное.
m . dA = FdS Wк =	I. dA=Mdφ

Резюме

• I =- для дискретного распределения масс

• I = - для непрерывного распределения масс

• - момент силы

• - момент импульса

• для замкнутой системы закон сохранения момента импульса

Л-5