- •Глава I. Физические основы динамики.
- •§1.1. Предмет механики. Кинематика и динамика. Классическая механика. Квантовая механика. Релятивистская механика.
- •§1.2. Силы.
- •§1.3. Элементы кинематики.
- •§1.4. Пространство и время.
- •§1.5. Кинематическое описание движения.
- •§1.6. Вектор перемещения. Скорость. Ускорение.
- •§1.7. Движение точки по окружности.
- •§1.8. Линейная скорость точки.
- •§1.9. Связь между угловыми и линейными параметрами движения.
- •Решение:
- •§1.10. Элементы динамики поступательного движения. Основная задача динамики. Понятие состояния в классической механике. Масса, импульс, сила.
- •§1.11. Современная трактовка законов Ньютона.
- •§1.12. Второй закон Ньютона как уравнение движения импульса.
- •§1.13. Третий закон Ньютона.
- •§1.14. Закон сохранения импульса.
- •§1.15. Реактивное движение. Уравнение Мещерского.
- •Решение
- •Решение
- •§1.16. Преобразование скорости и ускорения
- •§1.17. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.
- •§1.18. Силы инерции.
- •§1.19. Особенности сил инерции.
- •§1.20. Принцип эквивалентности.
- •§1.21. Закон сохранения энергии.
- •§1.22. Связь между кинетическими энергиями в различных системах отсчета.
- •§1.23. Энергия движения тела как целого.
- •§1.24. Потенциальная энергия.
- •§1.25. Законы сохранения и симметрия пространства.
- •§1.26. Графическое представление энергии.
- •§1.27. Элементы механики твердого тела.
- •§1.28. Момент инерции диска. Теорема Штейнера
- •§1.29. Момент силы
- •§1.30. Работа при вращательном движении.
- •§1.31. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.
- •§1.32. Условия равновесия твердого тела.
- •§1.33. Принцип относительности в механике. Инерциальные системы отсчёта и принцип относительности. Преобразования Галилея.
- •§1.34. Постулаты специальной теории относительности.
- •§1.35. Следствия из преобразований Лоренца.
- •§1.36. Элементы релятивистской динамики.
- •§1.37. Работа и энергия. Законы сохранения энергии и импульса.
- •§1.38. Механика колебаний и волн.
- •§1.39. Векторные диаграммы.
- •§1.40. Комплексная форма представления колебаний
- •§1.41. Сложение гармонических колебаний.
- •§1.42. Биения
- •§1.43. Кинетическая и потенциальная энергия при гармонических механических колебаниях.
- •§1.44. Гармонический осциллятор.
- •§1.45.Свободные и затухающие колебания.
- •§1.46. Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной силы.
- •§1.47. Волновые процессы.
- •§1.48. Эффект Доплера.
- •§1.49. Групповая скорость и её связь
- •§1.50. Одномерное волновое уравнение.
- •Глава II. Статистическая физика и термодинамика.
- •§2.1. Динамические и статистические закономерности в физике. Статистический и термодинамический методы.
- •§2.2. Макроскопические состояния.
- •§2.3. Уравнение состояния идеального газа.
- •§2.4. Давление газа с точки зрения молекулярно-кинетической теории.
- •§2.5. Молекулярно-кинетический смысл температуры.
- •§2.6. Статистические распределения.
- •§2.7.Скорости теплового движения частиц. Распределение частиц по абсолютным значениям скорости.
- •§2.8.Средняя кинетическая энергия частицы.
- •§2.9.Распределение Больцмана.
- •§2.10. Явления переноса. Понятие о физической кинетике.
- •§2.11. Эффективное сечение. Длина свободного пробега.
- •§2.12. Явления переноса.
- •§2.13. Теплопроводность.
- •§2.14. Диффузия.
- •§2.15. Внутреннее трение (вязкость).
- •§2.16. Основы термодинамики.
- •§2.17. Работа газа при изменении
- •§2.18. Эквивалентность теплоты и работы.
- •§2.19. Первое начало термодинамики.
- •§2.20. Теплоёмкость многоатомных газов.
- •§2.21. Применение первого начала термодинамики
- •§2.22. Работа в адиабатическом процессе.
- •§2.23. Энтропия.
- •§2.24. Изменение энтропии в изопроцессах.
- •4) Адиабатный.
- •§2.25. Связь энтропии с вероятностью состояния системы. Принцип возрастания энтропии.
- •§2.26. Свойства энтропии.
- •§2.27. Вычисление и применение энтропии.
- •§2.28. Цикл Карно.
- •§2.29. Второе начало термодинамики.
- •По Кельвину:
- •По Клаузиусу:
- •§2.30. Цикл Карно. Максимальный кпд тепловой машины.
- •§2.31. Фазовые равновесия и фазовые превращения. Фазы и фазовые превращения.
- •§2.32. Фазовые переходы I рода.
- •§2.33. Фазовые переходы II рода
- •§2.34. Условия равновесия фаз. Фазовые диаграммы.
- •§2.35. Метастабильные состояния.
- •§2.36. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса.
- •1) Учёт собственного объёма молекул.
- •2) Учёт притяжения молекул.
- •V метастабильные состояния Резюме
- •Оглавление
- •1.1. Элементы кинематики
- •1.2. Элементы динамики частиц
- •1.3. Законы сохранения импульса и механической энергии
- •1.4. Элементы механики твердого тела
- •1.5. Принцип относительности Галилея
- •1.6. Элементы релятивистской динамики
- •2. Механика колебаний и волн
- •2.1. Кинематика гармонических колебаний
- •2.2. Гармонический осциллятор
- •2.3. Волновые процессы
- •3. Статистическая физика и термодинамика
- •3.5. Реальные газы, жидкости и кристаллы
§1.15. Реактивное движение. Уравнение Мещерского.
Реактивное движение основано на законе сохранения импульса.
ракета газы до
[(m - dm)( + d) + dm( + )] - , где - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда
+ (здесь опущены величины порядка )
Если на ракету действуют внешние силы, то , поэтому
+ или
- реактивная сила
Если противоположно по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с , то тормозится. Окончательно уравнение движения тела переменной массы
+- уравнение Мещерского
Если внешних сил нет (F = 0), то
Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если при t = 0 m = m0 и V = 0, то С = U∙lnm0. Следовательно,
- формула Циолковского
Она показывает, что:
1) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса ракеты,
2) чем больше скорость истечения U газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Пример 1
Частица движется вдоль оси х по закону x = αt2 – βt3, где α и β –положительные постоянные. В момент t = 0 сила, действующая на частицу, равна F0. Найти значения силы Fx в точках поворота и в момент, когда частица опять окажется в точке х = 0.
Решение
, откуда , при t = 0 , будет , откуда . Время поворота найдём из условия, что в точке поворота , поэтому - время поворота. Ускорение в этот момент времени будет , откуда сила, действующая в этот момент времени будет - сила, действующая в точке поворота. Когда тело возвращается в исходную точку (х = 0), имеем:
αt2 – βt3 = 0 → . В этот момент времени
сила, действующая в этот момент времени
Итак, сила, действующая в точке поворота , сила, действующая в точке х = 0
Пример 2
Катер массы m движется по озеру со скоростью . В момент времени t = 0 выключили двигатель. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости катера, , найти:
а)время движения катера с выключенным двигателем;
б)скорость катера в зависимости от пути, пройденного с выключенным двигателем, а также полный путь до остановки.
Решение
По II закону Ньютона , или
.
Разделяя переменные, получаем
§1.16. Преобразование скорости и ускорения
при переходе от одной системы отсчёта к другой
В рамках ньютоновской механики длина и время считается абсолютными. Любой масштаб одинаков в разных системах отсчета, т.е. не зависит от движения. Течение времени также одинаково во всех системах.
Имеются две произвольные системы отсчета и , движущиеся относительно друг друга. Известны скорость V и ускорение а некоторой точки в К и ′- системе. Каковы соответствующие значения V′ и этой точки в -системе?
Рассмотрим три наиболее важных случая движения одной системы отсчета относительно другой.
1.К'-система движется поступательно по отношению к К-системе.
Пусть в К-системе начало отсчета К'-системы задаётся радиусом-вектром а её скорость и ускорение – векторами V0 и Если положение точки А в К-системе определяется радиусом-вектором то
За промежуток времени точка совершит в К-системе перемещение
Откуда для преобразования скорости будет:
V = V0 + V
Дифференцируя по времени, получаем:
При т.е. при движении К'- системы без ускорения относительно К-системы, ускорения точки в обеих системах отсчета будут одинаковы.
2.К'-система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, неподвижной в К-системе.
Возьмем начала отсчета К- и К'-систем в произвольной точке О на оси вращения
Тогда радиус-вектор точки А в обеих системах отсчета будет один и тот же:
Если точка А неподвижна в К'-системе, то её перемещение в К-системе за время обусловлено только поворотом радиуса-вектора на угол (вместе с К'-системой) и равно векторному произведению
Если же точка А движется относительно К'-системы со скоростью то за время она совершит дополнительно перемещение (рис.) и тогда
Разделив это выражение на получим формулу преобразования скорости:
,
где V и V′ скорости точки А в К- и К'-системах отсчета соответственно.
В соответствии с (1) приращение вектора за время в К-системе должно складываться из суммы приращений векторов и т.е.
Если точка А движется в К'-системе с то приращение этого вектора в К-системе обусловлено только его поворотом на угол (вместе с К'-системой) и равно, как и в случае с векторному произведению Если же точка А имеет ускорение в К'-системе, то за время вектор получит еще дополнительное приращение и тогда
Подставив всё в предыдущее равенство получаем формулу преобразования ускорения:
где и ускорения точки А в К- и К'- системах отсчета. Второе слагаемое в правой части этой формулы называют кориолисовым (или поворотным) ускорением третье слагаемое – осестремительным ускорением
Таким образом, ускорение относительно К-системы равно сумме трех ускорений:
-
ускорения относительно -системы;
-
кориолисова ускорения ;
-
осестремительного ускорения
Осестремительное ускорение можно представить в виде где радиус-вектор, перпендикулярной оси вращения и характеризующей положение точки А относительно этой оси. Тогда формулу можно переписать так:
3.К'- система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью и ускорением по отношению к К-системе.
Этот случай объединяет два предыдущих. Введем вспомогательную S-систему отсчета, которая жестко связана с осью вращения К'-системы и перемещается поступательно в К-системе. Пусть V и VS скорости точки А в К и - системах отсчета, тогда
заменив VS выражением где радиус-вектор точки А относительно произвольной точки на оси вращения -системы, получим следующую формулу преобразования скорости:
Аналогичным образом, найдем формулу преобразования ускорения:
В последних двух формулах V, V′ и скорости и ускорения точки А соответственно в - и -системах отсчета, V0 и скорость и ускорение оси вращения К'-системы в К-системе, радиус-вектор точки А относительно произвольной точки на оси вращения и характеризующий положение точки А относительно этой оси.
Пример.
Диск вращается с постоянной угловой скоростью вокруг собственной оси, укрепленной на оси. По диску движется точка А с постоянной относительно стола скоростью V Найдем скорость V′ и ускорение точки А относительно диска в момент, когда радиус-вектор, характеризующей ее положение по отношению к оси вращения, равен Скорость V′ точки А
Ускорение же найдем, учтя, что в данном случае ибо Тогда После подстановки в эту формулу для получим