§1.35. Следствия из преобразований Лоренца.

1. Сокращение движущихся масштабов длины.

В k длина будет

В k΄ длина будет

Используя преобразования Лоренца, можно получить

.

Видно, что (т.к. β < 1) ℓ΄ < ℓ, т.е. длина движущегося стержня меньше, чем покоящегося.

Аналогичный эффект наблюдается для тел любой формы: в направлении движения линейные размеры тела сокращаются. Это – лоренцево (или фитцджеральдово) сокращение, при этом поперечные размеры тела не изменяются.

2. Замедление движущихся часов.

Промежуток времени между двумя событиями

в k^'

в k.

Из преобразований Лоренца следует, что

т.е. промежуток времени ∆t^' < ∆t, т.е. в движущейся системе происходит замедление хода времени (,,парадокс близнецов”)

3. Закон сложения скоростей.

В системе k компоненты скорости V частицы

в системе k^'

Используя преобразования Лоренца можно получить

Откуда

или

аналогично

Резюме

• t = t^'

x = x^' + U_xt

y = y^' + U_yt

z = z^' + U_zt – преобразования Галилея

• преобразования Лоренца y = y^'; z = z^'

y^' = y; z^' = z;

• закон сложения скоростей:

• 

• 

Л-6

§1.36. Элементы релятивистской динамики.

Релятивистский импульс. Уравнение движения

релятивистской частицы.

Законы сохранения должны соблюдаться во всех инерциальных системах отсчета, т.е. должны быть инвариантными по отношению к преобразованиям Лоренца.

Закон сохранения импульса будет инвариантным, если импульс определить как

релятивистское выражение для импульса.

Это выражение трактуют так: считают релятивистской массой величину.

(т.е. зависит от скорости).

а величину m₀ называют массой покоя частицы.

Из двух возможных в ньютоновской механике формулировок II закона Ньютона в релятивистской механике справедлива только

С учетом релятивистского выражения для импульса получаем

основное уравнение релятивистской динамики материальной точки.

В релятивистском случае масса утрачивает смысл коэффициента пропорцинальности между ускорением и силой. В отличие от ньютоновской механики сила в релятивистской механике не является инвариантной (в разных инерциальных системах отсчёта она имеет различные модули и направления). и кроме этого, оказываются неколлинеарными (направление ускорения, как правило, не совпадает с направлением силы).

§1.37. Работа и энергия. Законы сохранения энергии и импульса.

т.к. то

откуда

Используя прямое дифференцирование можно получить:

→

Постоянную C можно определить из условия, что при

V = 0 W_к = 0 → C = - mc²

или

Закон сохранения энергии оказывается инвариантным только в том случае, если свободной частице приписывать кроме кинетической энергии дополнительную энергию, равную m₀c². Свободная частица обладает энергией

полная энергия частицы.

Неподвижная частица обладает энергией

энергия покоя.

Она представляет собой внутреннюю энергию частицы. В случае сложного тела энергия покоя включает в себя также кинетическую энергию частиц (обусловленную их движением относительно центра масс тела) и энергию их взаимодействия друг с другом.

В энергию покоя, как и в полную энергию W, не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле. Термин ,,полная энергия” имеет в релятивистской механике другой смысл, чем в ньютоновской механике.

В ньютоновской механике полной энергий частицы называется величина .

В релятивистской механике под полной энергией подразумевается сумма кинетической энергии и энергии покоя т.е.

Сопоставляя выражения

и .

Импульс и полная энергия связаны соотношением

Выразим полную энергию через импульс.

Отсюда следует, что инвариант,

т.к. с и m₀ являются инвариантами, то имеет одинаковое числовое значение во всех инерциальных системах отсчёта.

При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой полная энергия и импульс изменяются, однако числовое значение выражения остаётся одним и тем же.

Из формулы W₀ = m₀c² следует, что всякое изменение массы тела ∆m сопровождается изменением энергии покоя ∆W₀, причем

закон взаимосвязи массы и энергии покоя.

Взаимосвязь m и W приводит к тому, что суммарная масса взаимодействующих частиц не сохраняется.

Резюме

• релятивистский импульс

• - релятивистская масса

• основное уравнение релятивистской динамики материальной точки.

• - кинетическая энергия в релятивистском случае

• полная энергия

• = const

• 

• энергия покоя.

Л-7