§1.38. Механика колебаний и волн.

Кинематика гармонических колебаний.

Понятие о колебательных процессах. Единый

подход к колебаниям различной физической природы.

Амплитуда, круговая частота, фаза гармонических

колебаний.

Колебания –процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени.

Система, совершающая колебания, называется колебательной.

Свободные колебания – колебания, которые происходит в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния её устойчивого равновесия.

Вынужденные колебания – колебания, происходящие в системе под влиянием переменного внешнего воздействия.

Колебания – называются периодическими, если значения всех физических величин характеризующих колебательную систему и изменяющихся при её колебаниях, повторяются через равные промежутки времени.

Наименьший промежуток времени T, удовлетворяющий этому условию, называются периодом колебаний.

Частота

Циклическая частота (круговая частота)

При периодических колебаниях зависимость колеблющейся величины S от времени t удовлетворяет условно

S(t) = S(t + T)

Гармонические колебания

S(t) = A Sin (ωt + φ₀)

A = S_макс = const > 0 – амплитуда колебаний.

Фаза колебания φ(t) = ωt + φ₀

φ₀ – начальная фаза колебания.

Скорость

Ускорение

Гармонически колеблющаяся величина S удовлетворяет дифференциальному уравнению

- дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Общее решение этого уравнения

А₁ и А₂ – произвольные постоянные интегрирования. Их значения можно найти из начальных условий

A₁ = S(0) и

Общее значение можно привести к виду

S = A Sin (ωt + φ₀)

где

§1.39. Векторные диаграммы.

Графически гармонические колебания изображают с помощью вектора на плоскости

Графическое изображение гармонических колебаний посредством вращающегося вектора амплитуды называется методом векторных диаграмм.

§1.40. Комплексная форма представления колебаний

Согласно формуле Эйлера

поэтому гармоническое колебание

S = A Sin(ωt + φ₀) = ACos(ωt + φ₁)

где можно записать в экспоненциальной форме.

где комплексная амплитуда.

Физический смысл имеет только действительная часть комплексной функции обозначаемая

§1.41. Сложение гармонических колебаний.

Сложим два гармонических колебания одного направления и одинаковой частоты:

Воспользуемся векторным методом

Уравнение результирующего колебания будет

S = S₁ + S₂ = A Cos (ω₀t + φ) = x

По теореме косинусов

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₂ – φ₁) складывающихся колебаний

1) Если (φ₂ – φ₁) = ± 2πm m = 0, 1, 2, …

A = A₁ + A₂

2) Если (φ₂ – φ₁) = ± (2m + 1)π