Отношения между схемами атрибутивных высказываний

Между схемами SaP, SeP, SiP, SoP с одними и теми же терминами (и, следовательно, между самими высказываниями, соответствующими этим схемам), возможны следующие отношения: отношение противоречия (контрадикторности); отношение противности (контрарности); отношение частичной совместимости (подпротивности, подконтрарности); отношение подчинения (следования).

Эти отношения принято изображать в виде особой диаграммы, которая называется логическим квадратом. Его стороны и диагонали указывают на соответствующие отношения.

Определения указанных отношений идентичны данным в главе «Высказывания». Они лишь конкретизируются относительно атрибутивных высказываний.

Итак, две схемы находятся в отношении противоречия, если и только если соответствующие им высказывания не могут быть ни одновременно истинными, ни одновременно ложными. Это отношение имеет место между схемами общеутвердительных (SaP) и частноотрицательных (SoP) высказываний, а также между схемами общеотрицательных (SeP) и частноутвердительных (SiP) высказываний: «Все S суть P» – «Некоторые S не суть P»; «Ни одно S не есть P» – «Некоторые S суть P». Если общеутвердительное высказывание (SаP) «Каждая планета солнечной системы движется по эллипсу» является истинным, то противоречащее ему частноотрицательное высказывание (SoP) «Существует планета солнечной системы, не движущаяся по эллипсу» является ложным. Если общеутвердительное высказывание (SaP) «Все студенты нашей группы обладают хорошими музыкальными способностями» ложное, то противоречащее ему частноотрицательное высказывание (SoP) является истинным, и наоборот. Точно также противоречат друг другу истинное частноутвердительное высказывание (SiP) «Некоторые слова пишутся с большой буквы» и ложное общеотрицательное (SeP) «Ни одно слово не пишется с большой буквы».

Две схемы находятся в отношении противности, если и только если соответствующие им высказывания не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Это отношение имеет место между схемами общеутвердительных (SaP) и общеотрицательных высказываний (SeP): «Все S суть P» – «Ни одно S не есть P». Например, общеутвердительное высказывание (SaP) «Все рабочие этого завода – рационализаторы» и общеотрицательное высказывание (SeP) «Ни один рабочий этого завода не является рационализатором» имеют схемы, находящиеся в отношении противности: эти высказывания не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Последнее имеет место, когда в рационализаторском движении участвуют некоторые рабочие этого завода.

Две схемы находятся в отношении подпротивности (частичной совместимости), если и только если им соответствуют высказывания, которые могут быть вместе истинными, но не могут быть одновременно ложными. В отношении подпротивности находятся схемы частноутвердительных (SiP) и частноотрицательных (SoP) высказываний: «Некоторые S суть P» – «Некоторые S не суть P». Так, высказывание «Некоторые рабочие этого завода – рационализаторы» (SiP) и «Некоторые рабочие этого завода не являются рационализаторами» (SоP) могут быть вместе истинными. Но если ложно первое из них, то второе ложным быть не может, оно с необходимостью истинно.

Две схемы находятся в отношении подчинения (первая подчиняет вторую, или из первой следует вторая), если и только если всякий раз, когда первой соответствует истинное высказывание, второй также соответствует истинное высказывание, но не обязательно наоборот. В отношении подчинения находятся схемы общеутвердительных (SaP) и частноутвердительных (SiP) высказываний, с одной стороны (из схемы «Все S суть P» следует схема «Некоторые S суть P») и схемы общеотрицательных (SеP) и частноотрицательных (SoP) высказываний, с другой стороны (из схемы «Ни одно S не есть P» следует схема «Некоторые S не суть P»). Так, если истинно, что «Все рабочие этого завода – рационализаторы» (SаP), то истинным будет и высказывание «Некоторые рабочие этого завода – рационализаторы» (SiP). Однако истинность высказывания «Некоторые рабочие этого завода – рационализаторы» не обязательно сопровождается истинностью высказывания «Все рабочие этого завода – рационализаторы».

Если же высказывание подчиненной схемы ложно, то ложным является и высказывание схемы подчиняющей. Например, при ложности высказывания «Некоторые его не поняли» (SoP), ложным является и подчиняющее его высказывание «Никто его не понял» (SeP). Обратное же вовсе не обязательно. Например, ложность высказывания «Все металлы тяжелее воды» (SaP) не означает ложности высказывания «Некоторые металлы тяжелее воды» (SiP), последнее является истинным.