Непрямые (косвенные) правила выводов

Теперь перейдем к рассмотрению основных косвенных (непрямых) правил. Напомним, что ими устанавливается следующее: если могут быть построены такие-то и такие-то выводы, то может быть построен и такой-то вывод. Как увидим, специфическим свойством косвенных правил вывода является использование положений, которые являются добавочными допущениями.

Начнем с правила введения импликации (ВИ):

П (множество посылок)

---------------------------------------------

A (доб. Допущение)

………

B

----------------------------

A® B

(При записи ВИ и некоторых других правил мы будем использовать квадратные «горизонтальные» скобки, в которых для получения вывода помещаются добавочные допущения и следствия из них. Находящиеся в скобках выражения – это, образно говоря, строительные леса, которые можно убрать после построения вывода.) Правило ВИ устанавливает, что если на основании множества посылок П (возможно, пустого) и добавочного допущения A мы получим некоторое B в качестве следствия, то можно заключить о выводимости из П импликации A® B. Данное правило обобщает опыт умозаключений, многократно встречающихся в нашей умственной деятельности. Рассмотрим следующий пример.

Даны высказывания (посылки):

1. Если в данной местности увеличивается количество кошек, то уменьшается количество полевых мышей (p ® q).

2. Если в данной местности уменьшается количество полевых мышей, то увеличивается количество ос (q ® r).

3. Если в данной местности увеличивается количество ос, то создаются более благоприятные условия для повышения урожая клевера (r ® s).

Если ввести добавочное допущение «В данной местности увеличивается количество кошек» (p), то, используя трижды правило УИ, сначала можно из p®q и p вывести q, затем из q®r и q получить r и из r®s и r получить s. Применение правила ВИ дает основание получить из множества взятых посылок импликацию p®s:

«Если в данной местности увеличивается количество кошек, то создаются более благоприятные условия для повышения урожая клевера».

Второе основное непрямое правило называется правилом сведения к абсурду (СА):

П (множество посылок)

-------------------------------------------

A (допущение)

………

В

ØВ

------------------------------------------

ØA

Правило СА устанавливает, что если при посылках П (их множество, как и при ВИ, может быть пустым) и добавочном допущении A получаются два противоречащих друг другу высказывания B и Ø B, то данное допущение должно быть отвергнуто как ложное и признано, что из П выводится отрицание допущения – ØA.

Если к посылкам в предыдущем примере присоединить добавочное допущение pÙØs, то применив к нему правило УК, а затем, трижды правило УИ, мы получим два противоречивых утверждения – Øs и s. Следовательно, в соответствии с правилом СА, из посылок выводится заключение:

«Неверно, что в данной местности увеличивается количество кошек, но не создаются благоприятные условия для повышения урожая клевера».

Таким образом, правило СА также соответствует естественному ходу рассуждений.

С помощью названных основных правил можно получать производные правила. При изложении выводного процесса, в результате которого получается то или иное правило, напротив каждой строки условимся указывать, на основании чего мы к этому правилу приходим. Например, запись:

A « B (УИ: 2, 4)

будет означать, что шестая строка с выражением A«B получается на основании правила удаления импликации, примененного к выражениям, находящимся во второй и четвертой строках. Большую часть работы по выведению производных правил мы предоставим самому читателю в качестве упражнений. За образец возьмем следующее правило:

A ® B

ØB

--------------

ØA

Это правило можно вывести так: