Упражнения:

1. Какие из следующих имен являются совместимыми, какие - нет (попарнo):

1. метр, одна тысячная часть километра;

2. метр, одна тысячная часть метра;

3. метр, часть километра;

4. столица государства; город, не являющийся крупным промышленным центром;

5. город, являющийся столичным; город, не являющийся столичным;

6. капитан, майор;

7. катет, прямоугольный треугольник;

8. черный ворон, черный квадрат;

9. двухэтажный дом, трехэтажный дом;

10. весенний день, солнечный день;

11. измерение, взвешивание;

12. материк, континент;

13. мудрость, глупость?

2. Конкретизируйте отношения совместимости и несовместимости в упр.1.

3. В каких отношениях находятся следующие имена (попарно):

1. гимнаст, спортсмен;

2. гимнаст, не спортсмен;

3. не гимнаст, спортсмен;

4. не гимнаст, не спортсмен;

5. спортсмен, не спортсмен?

4. Какие признаки делают следующие имена противоположными (попарно): а) учитель, ученик; б) деревня, город; в) физический труд, умственный труд; г) раб, рабовладелец; д) Осел, Соловей (из басни И.А. Крылова)?

5. С помощью круговых схем установите отношения между объемами следующих имен:

1. студент, минчанин, славянин, белорус;

2. самый крупный промышленный центр Беларуси; самый крупный населенный пункт Беларуси; город с населением более 1 млн. человек;

3. квадрат, прямоугольник, ромб;

4. железная дорога, средство перевозки грузов, железнодорожное депо, шоссейная дорога;

5. транспортное средство, велосипед, мотоцикл, мотоцикл дорожный, мотоцикл спортивный, ходовая часть мотоцикла, двигатель мотоцикла.

Операции с именами Булевы операции

Отношения между именами создают основу для логических операций с ними. Результат операций – новые имена. Операции, к описанию которых мы приступаем, называются булевыми операциями – по имени английского ученого Дж.Буля (1815-1864), одного из основоположников математической логики.

Булевы операции – это операции с объемами имен. К важнейшим из них относятся сложение, умножение и дополнение.

Сложение объемов A и В – это логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов, относящихся хотя бы к одному из объемов А и В.

Результат операции сложения называется логической суммой и обозначается выражением АÈВ. Эту, как и прочие операции, рассмотрим на одном и том же конкретном примере объемов с иллюстрацией на круговых схемах (рис. 8-10). Результаты операций отмечены штриховкой.

Пусть речь идет о тыквах, и совокупность всех тыкв – универсум Т (от лат. Totum – целое). По каким-то соображениям выделены: а) тыквы весом не меньше 3 и не больше 5 кг, что соответствует объему A на круговых схемах; б) тыквы весом не меньше 4 и не больше 6 кг, что соответствует объему В на круговых схемах. Тогда логическую сумму объемов этих тыкв составят тыквы весом от 3 до 6 кг (рис. 8).

Умножение объемов A и В – логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов, относящихся как к объему A, так и к объему В. Результат называется логическим произведением и обозначается выражением AÇВ.

В нашем случае логическое произведение объемов A и В – это тыквы от 4 до 5 кг (рис. 9).

Исключение объема B из объема A – логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов объема A и не состоящий из объема B. Результат этой операции называется логической разностью и обозначается выражением AB.

Наконец, дополнение объема A – это логическая операция, в результате которой образуется новый объем, состоящий из предметов универсума Т, не относящихся к объему A. Результат этой операции называется логическим дополнением и обозначается выражением A¢. Дополнением к тыквам весом от 3 до 5 кг будет весь универсум тыкв Т, за исключением тыкв от 3 до 5 кг (рис. 12).

Из приведенных определений видно, что существует соответствие между булевыми операциями и операциями (функторами) логики высказываний. В частности, сложению соответствует слабая дизъюнкция, умножению – конъюнкция, дополнению – отрицание.

Булевы операции подчиняются определенным законам:

AA=A	идемпотентность сложения;
AВ=ВA	коммутативность сложения;
(AВ)C=A(BC)	ассоциативность сложения;
AÇA=A	идемпотентность умножения;
AÇВ=ВÇA	коммутативность умножения;
(AÇВ)ÇC=AÇ(BÇC)	ассоциативность умножения;
(АВ)ÇC=(AÇС)(BÇC)	Дистрибутивность умножения относительно сложения;

(AÇВ)C=(AС)Ç(ВC)

Дистрибутивность сложения относительно умножения.

Законы ассоциативности гласят, что в выражениях вида AВС и AÇВÇС расположение скобок не играет роли, так что их можно вообще опускать (рис. 13 и 14). Однако в таких выражениях, как (AВ)ÇС или A(ВÇС) – расположение скобок играет существенную роль. Пусть, например, A – объем имени «мужчина», B – объем имени «женщина», С – объем имени «врач». Тогда AB – объем имени «человек», (AB)ÇС – объем имени «врач» (рис.15, горизонтальная штриховка); ВÇС – объем имени «женщина-врач», A(BÇС) – объем имени, обозначающего всех людей, за исключением женщин, которые не являются врачами (рис. 15, вся штриховка).

(A B)¢=A¢ Ç B¢ (рис. 24)	- 1-й закон де Моргана
(A Ç B)¢ = A¢ B¢ (рис. 25)	- 2-й закон де Моргана

(A B)¢=A¢ Ç B¢ (рис. 24);

(A Ç B)¢ = A¢ B¢ (рис. 25).