2.4. Скорость точек твердого тела в плоском движении. Мгновенный центр скоростей

Плоским называется движение твердого тела, при котором траектории всех его точек лежат в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

При изучении плоского движения твердого тела достаточно исследовать движение плоской фигуры, являющейся сечением твердого тела плоскостью, параллельной неподвижной.

Всякое перемещение плоской фигуры можно разложить на поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой О₁, называемой полюсом, и на вращение фигуры вокруг этой точки (рис.2.13). Уравнения движения произвольной точки М плоской фигуры имеют вид

x

(2.4)

(2.5)

 = x_O1 + x₁cos – y₁sin; (2.4)

y = y_O1 + x₁sin + y₁cos,

где x и y – координаты точки М в неподвижной системе координат; x_O1 и y_O1 – координаты полюса О₁; x₁ и y₁ – координаты точки М в системе координат, жестко связанной с плоской фигурой;  – угол поворота подвижной системы координат относительно неподвижной.

Проекции скорости точки М на неподвижные оси координат

v_x = v_O1x – (y – y_O1); (2.5)

v_y = v_O1y + (x – x_O1),

где v_O1x и v_O1y – проекции скорости полюса (начала подвижной системы координат) на неподвижные оси координат;  =  – проекция угловой скорости на ось z, перпендикулярную к плоскости движения.

Подставив в (2.5) значения координат x и y точки М из выражения (2.4), получим проекции скорости точки М на подвижные оси координат x₁ и y₁:

v_x1 = v_O1xcos + v_O1ysin – y₁;

v_y1 = – v_O1xsin + v_O1ycos + x₁.

Скорость точки М по известным проекциям

.

Скорости точек плоской фигуры могут быть найдены и графоаналитическим методом, основанным на использовании мгновенного центра скоростей этой фигуры. При плоском движении фигуры в каждый данный момент времени существует точка, скорость которой равна нулю, – мгновенный центр скоростей Р (рис.2.14). Скорость любой точки М плоской фигуры связана с вращением ее вокруг мгновенного центра скоростей. Ее величина равна произведению угловой скорости плоской фигуры  на расстояние от точки М до мгновенного центра скоростей.

Рассмотрим способы нахождения мгновенного центра скоростей плоской фигуры:

 Если известна скорость v_O точки О и угловая скорость плоской фигуры  (рис.2.14, а), то мгновенный центр скоростей находится на перпендикуляре, восстановленном к направлению скорости точки О, на расстоянии ОР = v_O/.

 Если известны скорости двух точек А и В плоской фигуры (рис.2.14, б), то мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках А и В к векторам скоростей этих точек.

 Если векторы скорости двух точек А и В плоской фигуры (рис.2.14, в) параллельны друг другу, перпендикулярны к отрезку АВ, направлены в одну сторону и не равны по величине, то мгновенный центр скоростей находится на продолжении АВ со стороны той точки, скорость которой меньше; расстояния от точек А и В до мгновенного центра скоростей пропорциональны скоростям точек. Если же скорости параллельны и равны друг другу, то мгновенный центр скоростей в данный момент не существует (находится в бесконечности), угловая скорость плоской фигуры в данный момент равна нулю (мгновенно-поступательное движение).

 Если плоская фигура катится без скольжения по неподвижной кривой (рис.2.14, г), то мгновенный центр скоростей находится в точке соприкосновения фигуры с кривой.

В неподвижной системе координат положение мгновенного центра скоростей определяется формулами

.

В подвижной системе осей координат, жестко связанной с плоской фигурой, координаты мгновенного центра скоростей

.

A

B



а

Часто при решении задач оказывается полезной теорема о равенстве проекций скоростей концов АВ отрезка на направление АВ.

Пример 2.4. Кривошипно-шатунный механизм состоит из кривошипа ОА, шатуна АВ и ползуна В (рис.2.15, а). Кривошип вращается вокруг точки О согласно уравнению  = 3t. Ползун В движется по горизонтальным направляющим, проходящим через точку О. Определить скорость ползуна В, когда ОАВ = 90, положение мгновенного центра скоростей шатуна АВ и его угловую скорость, если ОА = r = 2 м, АВ = l = 3,46 м. Найти в этом положении скорость точки D, делящей шатун пополам.

Решение. Решим задачу с использованием мгновенного центра скоростей. Угловая скорость кривошипа

 = 3 с^-1.

Скорость точки А

v_А = r = 23 = 6 м/с.

Вектор перпендикулярен к кривошипу ОА. Скорость шатуна В направлена по горизонтали ОВ. Построив перпендикуляры к направлениям скоростей точек А и В шатуна, находим в их пересечении мгновенный центр скоростей Р (рис.2.15, б).

В треугольнике ОАВ сторона ОВ =, следовательно, угол  = 60, угол АВО =  = 30. Угол АВР =  как образованный сторонами треугольника АВР, перпендикулярными ОА и ОВ. Аналогично угол АРВ = ; из треугольника АВР следует, что

;

Мгновенную угловую скорость шатуна найдем из условия

v_A = r = АР_мг,

откуда

.

Скорость точки В определяется как произведение расстояния от этой точки до мгновенного центра скоростей на _мг:

v_B = ВР_мг = 6,92 м/с.

Аналогично скорость точки D

v_D = DР_мг =6,25 м/с.

Вектор скорости точки D перпендикулярен к DP.

Задача 2.18. Стержень АВ совершает плоское движение. Вектор скорости точки А образует угол 30 со стержнем и равен в данный момент по величине 5 м/с. Вектор скорости точки В в этот же момент времени составляет угол 60 с продолжением стержня. Определить скорость точки В, положение мгновенного центра скоростей, угловую скорость стержня и скорость точки D (середины стержня). Длина стержня АВ = 2 м.

Ответ: v_B = 8,65 м/с,  = 5 рад, v_D = 5 м/с.

Задача 2.19. Катушка радиусом R катится по горизонтальной плоскости без скольжения (рис.2.16). На средней цилиндрической части катушки радиусом r намотана нить, конец которой В обладает при этом движении скоростью u в горизонтальном направлении. Определить скорость перемещения оси катушки.

Ответ: .

Задача 2.20. Колесо радиусом R = 0,5 м катится без скольжения по прямолинейному участку пути; скорость его центра v₀ постоянна и равна 10 м/с. Найти скорости концов М₁, М₂, М₃, М₄ вертикального и горизонтального диаметров колеса. Определить угловую скорость колеса.

Ответ:  = 20 с^-1; v_M1 = 0; v_M2 = 10 м/с; v_M3 = 20 м/с; v_M4 = 10 м/с.

З адача 2.21. Цилиндр радиусом R обмотан тросом, перекинутым через блок О (рис.2.17). Конец троса тянут со скоростью , в то время как центр цилиндра имеет скорость . Определить угловую скорость цилиндра, считая участок троса от цилиндра до блока вертикальным. Найти скорости точки В на горизонтальном диаметре цилиндра и точки С на вертикальном диаметре.

Ответ: ; ; .

Задача 2.22. В планетарном механизме (рис.2.18) кривошип ОА вращается с угловой скоростью ₀ и приводит в движение шестерню I радиусом , которая находится во внутреннем зацеплении с шестерней II радиусом R. Определить скорости точек M₁ и M₂ шестерни I, находящихся на концах ее диаметра, перпендикулярного кривошипу, если шестерня II вращается с угловой скоростью ₂ = 3₀.

Ответ: при противоположных направлениях вращения шестерни II и кривошипа ; при одинаковых направлениях вращения шестерни II и кривошипа .

Задача 2.23. Определить величину скорости точки D шатуна NK в положении механизма, изображенном на рис.2.19, когда коромысло O₁N перпендикулярно к шатуну NK и параллельно направляющим ползуна В, а скорость ползуна В равна v. Принять DK = NK/3.

Ответ: .